Закрыть

Математическая индукция

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 12.02.2008 в 14:14
Раздел: Математика
Теги:

Математическая индукция, весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципом математической индукци, являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу:

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2$ (1)

При $n = 1$ эта формула даёт $1 = 1^2$. Чтобы доказать правильность формулы при любом $n$, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N, то есть предполагают, что

$1 + 3 + 5 + ... + (2N - 1) = N^2$. (2)

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для $n = N + 1$. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: $(2N + 1)$; тогда и правая часть равенства должна увеличиться на $(2N +1)$ и, следовательно,

$1 + 3 + 5 + ... + (2N — 1) + (2N + 1) = N^2 + (2N + 1) = (N + 1)^2$.

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1.

Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при $n = N + 1$. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при $n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1$ и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип математической индукци:

Пусть:

  1. число единица обладает свойством А;
  2. из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А, вытекает, что и число $n + 1$ обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.

В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так: «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип математической индукци принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип математической индукци) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

  Принцип математической индукци, сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов $u_n$ геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q:

1) $u_1 = a$,

2) $u_{n+1} = u_nq$.

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии $u_n$ для всех натуральных чисел n. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение $u_n$ через n:

  $u_n = aq^{n-1}$.

  Принцип математической индукци можно заменить равносильными ему предложениями, например таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N.

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей