Закрыть

Свойства числовых инвариантов

Автор: Шамутдинов Айдар Харисович
Опубликовано 15.06.2011 в 18:30
Раздел: Теория чисел

 

 

Шамутдинов Айдар Харисович, старший преподаватель ОмГТУ каф. «ГМ и ТМ», 15 июня 2011 г.

 

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ИНВАРИАНТОВ

Инвариантом или цифровым корнем числа N=a1a2a3…an=10^(n-1)a1+10^(n- 2) a2+…+an называется число(цифра), которая получается последовательным сложением цифр, из которых состоит число, причем сложение идёт до тех пор, пока не получится одна цифра: Inv(N) или i(N)=a1+a2+a3+…+an.

1) Если a1+a2+a3+…+an = N1 = 10^(k-1)b1+10^(k-2)b2+…+bk (где k-количество цифр в числе N1=b1b2b3…bk), то i(N)=b1+b2+b3+…+bk;

2) Если b1+b2+b3+…+bk = N2 = 10^(m-1)c1+10^(m-2)c2+…+cm (где m-количество цифр в числе N2=c1c2c3…cm), то i(N)=c1+c2+c3+…+cm и т.д.

Основное свойство натуральных чисел:

Для любого числа N>0 справедливо: N=i(N)+9k, где k-остаток от деления N на 9 или N=i(N)(mod9)

Пример 1.

Дано число N=137. Инвариант числа будет i(137)=i(1+3+7)=i(11)=1=1=2. Тогда 137=2+9×15

Свойство 1 (коммутативность умножения):

i(N1×N2×…×Nk)=i[i(N1)×i(N2)×…×i(Nk)]

Пример 2.

Найти инвариант произведения 23×17×58, т.е. i(23×17×58)=?

Решение:

По свойству 1 имеем: . i(23×17×58)=i[i(23)×i(17)×i(58)]=i[5×8×4]=i[160]=7

Вычисляем 23×17×58=22678 и i(22678)=i(2+2+6+7+8)=i(25)=7

Свойство 2(коммутативность сложения):

i(N1+N2+…+Nk)=i[i(N1)+i(N2)+…+i(Nk)]

Пример 3.

Найти инвариант суммы 23+17+58, т.е. i(23+17+58)=?

Решение:

По свойству 2 имеем: i(23+17+58)=i[i(23)+i(17)+i(58)]=i[5+8+4]=i[17]=8

Вычисляем сумму 23+17+58=98 и i(98)=i(9+8)=i(17)=8

Свойство 3(дистрибутивность умножения относительно сложения):

i[N1(N2+N2+…+Nk)]=i[i(N1)×[i(N2)+i(N2)+…+i(Nk)]]

Пример 4.

Найти инвариант произведения 23(17+58), т.е. i[23(17+58)]=?

Решение:

По свойствам 3, 2 и 1 имеем: . i[23(17+58)]=i[i(23)[i(17)+i(58)]]=i[5[8+4]]=i[i(5)×i(12)]=i[5×3]=i[15]=6.

Вычисляем i[23(17+58)]=i[23×75]=i[1725]=i[1+7+2+5]=i[15]=6

Свойство 4(существование нейтрального элемента при сложении):

i(N+9n)=i(N)

Пример 5.

i(124+9)=i(133)=1+3+3=7=i(124)=1+2+4

i(124+999)=i(1123)=1+1+2+3=7= i(124)=1+2+4

Свойство 5(существование нейтрального элемента при умножении):

i(9N)=i(9)=9,

где N1, N2,…,Nk-числа; n-N(натур.)

Пример 6.

i(9×237)=i(2133)=2+1+3+3=9

i(9×1064)=i(9576)=i(9+5+7+6)=i(27)=2+7=9

 

Пример 7.

Найти инвариант числа N=130279

Решение:

i(130279)=1+3+0+2+7+9=22, i(22)=2+2=4, т.е. i(130279)=4;

i(130279)=13+2+79=94, i(94)=9+4=13, i(13)=1+3=4;

i(130279)=130+279=409, i(409)=4+0+9=13, i(13)=1+3=4;

i(130279)=1302+79=1381, i(1381)=1+3+8+1=13, i(13)=1+3=4,

i(130279)=13027+9=13036, i(13036)=1+3+0+3+6=13, i(13)=1+3=4

Из этого примера видно, что конечная сумма числа, независимо от перестановок цифр будет одна и та же и равна инварианту этого числа.

 

Найдём степени первых 9 натуральных чисел и найдём их инварианты:

а) 1^n=1. Тогда i(1^n)=1;

б) 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^10=1024, 2^11=2048, 2^12=4096 и т.д. Тогда i(2)=2, i(4)=4, i(8)=8, i(16)=7, i(32)=5, i(64)=1, i(128)=2, i(256)=4, i(512)=8, i(1024)=7, i(2048)=5, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(2^n)={2; 4; 8; 7; 5;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);

в) 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729, 3^7=2187, 3^8=6561, 3^9=19683 и т.д. Тогда i(3)=3, i(9)=9, i(27)=9, i(81)=9, i(243)=9, i(729)=9, i(2187)=9, i(6561)=9, i(19683)=9 и т.д. Видно, что i(3^n)={3;9};

г) 4^1=4, 4^2=16, 4^3=64, 4^4=256, 4^5=1024, 4^6=4096 и т.д. Тогда i(4)=4, i(16)=7, i(64)=1, i(256)=4, i(1024)=7, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(4^n)={4;7;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);

д) 5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125, 5^6=15625, 5^7=78125, 5^8=390625, 5^9=1953125, 5^10=9765625, 5^11=48828125, 5^12=244140625 и т.д. Тогда i(5)=5, i(25)=7, i(125)=8, i(625)=4, i(3125)=2, i(15625)=1, i(78125)=5, i(39062^5)=7, i(1953125)=8, i(9765625)=4, i(48828125)=2, i(244140625)=1 и т.д. Видно, что i(5^n)={5;7;8;4;2;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);

е) 6^1=6, 6^2=36, 6^3=216, 6^4=1296, 6^5=7776, 6^6=46656 и т.д. Тогда i(6)=6, i(36)=9, i(216)=9, i(1296)=9, i(7776)=9, i(46656)=9 и т.д. Видно, что i(6^n)={6;9};

ж) 7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807, 7^6=117649 и т.д. Тогда i(7)=7, i(49)=4, i(343)=1, i(2401)=7, i(16807)=4, i(117649)=1 и т.д. Видно, что i(7^n)={7;4;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);

з) 8^1=8, 8^2=64, 8^3=512, 8^4=4096, 8^5=32768, 8^6=262144 и т.д. Тогда i(8)=8, i(64)=1, i(512)=8, i(4096)=1, i(32768)=8, i(262144)=1 и т.д. Видно, что i(8^n)={8;1}-множество двух повторяющихся чисел (цифр);

и) 9^1=9, 9^2=81, 9^3=729, 9^4=6561, 9^5=59049, 9^6=531441 и т.д. Тогда i(9)=9, i(81)=9, i(729)=9, i(6561)=9, i(59049)=9, 531441)=9 и т.д. Видно, что i(9^n)=9.

Анализирую выражения а)-и) более подробно, можно записать свойства для инвариантов степеней чисел от 1 до 9:

Свойство 6:                                       i(1^n)=1

 

Свойство 7:

i(2^n)=2, при n=6k+1

i(2^n)=4, при n=6k+2

i(2^n)=8, при n=6k+3

i(2^n)=7, при n=6k+4

i(2^n)=5, при n=6k+5

i(2^n)=1, при n=6k+6

k=0,1,2,…

 

Свойство 8:

i(3^n)=3, при n=1

i(3^n)=9, при n>1

 

Свойство 9:

i(4^n)=4, при n=3k+1

i(4^n)=7, при n=3k+2

i(4^n)=1, при n=3k+3

k=0,1,2,…

 

Свойство 10:

i(5^n)=5, при n=6k+1

i(5^n)=7, при n=6k+2

i(5^n)=8 при n=6k+3

i(5^n)=4, при n=6k+4

i(5^n)=2, при n=6k+5

i(5^n)=1, при n=6k+6

k=0,1,2,…

 

Свойство 11:

i(6^n)=6, при n=1

i(6^n)=9, при n>1

 

Свойство 12:

i(7^n)=7, при n=3k+1

i(7^n)=4, при n=3k+2

i(7^n)=1, при n=3k+3

k=0,1,2,…

 

Свойство 13:

i(8^n)=8, при n=2k+1

i(8^n)=1, при n=2k

k=0,1,2,…

 

Свойство 14:

i(9^n)=9

Анализирую степени чисел N>9, можно заметить, что инварианты степеней чисел N>9, будут совпадать с инвариантами степеней чисел от 1 до 9. Другими словами, можно записать ещё одно общее свойство инварианта степени:

Свойство 15:                 i(N^M)=i[(i(N))^M], где числа N, M>0

 

Используя свойства 6-15 можно решить множество задач, связанные с числами.

Пример 8.

Найти инвариант числа А=14^17

Решение:

Здесь N=14 и M=17. Находим: i(14)=5. Тогда по свойству 15 имеем: i(14^17)=i[(i(14))^17]=i[5^^17]. Используя свойство 10, видим, что М=17=6×2+5, т.е. i=2. Вычисляем А=14^17=30491346729331195904. Тогда i(30491346729331195904)=i(3+0+4+9+1+3+4+6+7+2+9+3+3+1+1+9+5+9+0+4) = i(83)=i(8+3)=i(11)=2

 

Пример 9.

Найти инвариант числа В=101^15

Решение:

Здесь N=101 и M=15. Находим: i(101)=2. По свойству 15 имеем: i(101^15)=i[(i(101))^15]=i[2^15]. Используя свойство 7, видим, что М=15=6×2+3, т.е. i=8. Вычисляем B=101^15=1160968955369998535166956051501. Тогда i(1160968955369998535166956051501)=i(1+1+6+0+9+6+8+9+5+5+3+6+9+9+9 +8+5+3+5+1+6+6+9+5+6+0+5+1+5+0+1)=i(152)=1+5+2=8.

Для быстрого подсчёта инварианта, как говорится «в уме», можно воспользоваться свойствами 4 и 5. Например, подсчитать инвариант числа из предыдущего примера 9, не находя суммы цифр. Замечаем, что единиц 5 штук, пятёрок-7. Итого 5×8=40, т.е. по инварианту-это 4. Далее, девятки и нули отбрасываем: 6683683666. Количество шестёрок-6, т.е 6×6=36. Таким образом, все шестёрки отбрасываем (т.к. 3+6=9).Получилось число 8383, т.е. i(8+3)=i(1+1)=2. Итак, 2+2+4=8.

 

Алгоритм для быстрого подсчёта инварианта числа

1.     Отбрасываем нули(0) и девятки(9);

2.     Отбрасываем сочетания цифр вида: 18, 27, 36, 45 и их перестановки.

3.     Отбрасываем сочетания цифр вида 3^n и 6^n при n>1.

 

Комментарии (1)

  • Васин Алексей 2011-09-21  [ ответить ]

    Здравствуйте Айдар. Начал читать вашу заметку.

    Помоему у вас тут ошибка, судя по примеру ниже, данной строки

    k-остаток от деления N на 9 или N=i(N)(mod9)

    Остаток не может быть больше 9:).  Тоже самое предполагает (mod 9).

    Скорее к= (N-i(N))/9 - целое..., а i(N) - остаток от деления

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
  • 2017-07-09 14:11:58 Robertfoere » трейдинг

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 13:54:28 Robertfoere » forex

    Я получил бесплатно $100 для ...

  • 2017-07-09 07:21:33 Robertfoere » trader

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 07:03:20 Robertfoere » broker

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-06 14:45:03 Robertfoere » stock exchange

    Я получил бесплатно $100 для обу...

Aрхив статей