Закрыть

Числа Мерсена

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 13.02.2008 в 15:56
Раздел: Теория чисел
Теги:

Начнем с того, что есть 2 экспоненциальные формулы, огромной исторической важности. Обе изучались математиками XVII и XVIII веков, в особенности Ферма и Эйлером. Вот эти формулы:

$M(n)=2^n-1 и F(n)=2^{2^n}+1$,

где n - натуральное. Числа из перфой формулы называются числами Мерсенна, а из второй - числами Ферма.

В данном документе мы рассмотрим только числа Мерсенна.

Вопрос о том при каких значениях n числа Мерсена просты, восходит к математикам античной Греции. В пифагорейском мистицизме число называлось совершенным, если оно равняется полусумме своих положительных дделителей. Например, делители числа 6 - это 1,2,3, и 6. Складывая их, получаем:

$1+2+3+4+6=12=2*6$

Следовательно, 6 - совершенное число. Конечно, никакое простое число не будет совершенным. Действительно, делитель простого числа p - это 1 и p, и 1+p<2p, поскольку p>1.

Эвклид знал, что число $2^{n-1}(2^n-1)$ совершенно, если $2^n-1$ простое. Нетрудно показать, что все четные совершенные числа имеют такой вид, но доказан этот факт был только Эйлером в восемнадцатов веке. Формула Эвклида сводит задачу о поиске совершенных чисел к нахождению простых чисел Мерсенна.

Задача о нахождении совершенных чисел, имеющая своим истоком туманный мистицизм пифагорейцев,может показаться крайне странной некоторым живущим в начале двадцать первого века. Однако, факт остается фактом: несмотря на то, что проблема стоит около 2500 лет, у нее еще нет удовлетворительного решения. Например, неизвестно, обязано ли совершенное число быть четным, хотя к настоящему времени не найдено не одного нечетного. Конечно, возраст, этой проблеммы бросает трудно преодолимый вызов всем, кто любит числа. Более того, ее сложность может означать, что она относится к глубочайшим свойствам целых чисел. Это делает ее даже еще более важной с точки зрения математиков.

Марен Мерсенн был священником и математиком-любителем семнадцатого века. Числа вида $2^{n-1} обязаны своим именем утверждению Мерсенна о том, что они просты, в случае

$n=2, 3, 5,7, 13, 17, 19, 67, 127 и 257$,

и являются составными для всех остальных 44 положительных простых n, меньших 257.

Первое важное замечение: Мерсен рассматривал значения $2^n-1$ только при простых n. Действительно, если n-составное, то такое же и M(n). Предположим, что $n=rs$, 1<r и s<n, тогда

$M(n)=2^n-1=2^{rs}-1=(2^r-1)(2^{r(s-1)}+2^{r(s-2)}+...+2^r+1)$.

Следовательно, если r делит n, то M(r) делит M(n). Второй важный момент заключается в том, что обратное неверно.  Иначе говоря, если n - простое, то M(n) не обязано быть простым. Мы видим из списка Мерсенна, что M(11) должно быть составным. Это легко проверить:

M(11)=2047=23*89.

Как часто бывало в то время, Мерсенн не привел доказательства своего утверждения, что дало повод для сомнений в его истинности и оставило широкое поле деятельности для математиков. В поисках простых чисел Мерсенна принял участие и Эйлер. В 1732 году он нашел два "новых простых" числа Мерсенна: M(41)  и M(47), отсутствовавших в списке Мерсенна. Поэтому выяснилось, что в этом случае Эйлер был неправ. Первую ошибку в списке Мерсенна нашли Первуээн (Pervusin) и Зилхоф (Seelhov) в 1886. Они обнаружили, что число M(61) простое, хотя его и нет в списке. Другие ошибки были нацдены в последующие годы. Сейчас известно, что кроме M(61), в списке пропущены простые числа M(89) и M(107), и присутствуют составные числа M(67) и M(257).

При доказательстве простоты чисел Мерсенна, Ферма использовал метод разложения на множители. В наше время используется гораздо более эффективный тест Люку-Лемера. С помощью этого теста в 1998 году было показано, что число Мерсенна M(3 021 377) просто. Оно состоит из 1 819 050 знаков. В настоящее время, по моим сведениям, известно 44 простых числа Мерсенна. Число знаков в самом большом из них немного не дотянуло до 10 000 000.  Почему именно такой барьер? Все очень просто. Тот кто найдет число Мерсенна с количеством цифр более десяти миллионов, получит премию в 100000 долларов ! Хотите попробовать свои силы?  Дерзайте!

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
  • 2017-07-09 14:11:58 Robertfoere » трейдинг

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 13:54:28 Robertfoere » forex

    Я получил бесплатно $100 для ...

  • 2017-07-09 07:21:33 Robertfoere » trader

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 07:03:20 Robertfoere » broker

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-06 14:45:03 Robertfoere » stock exchange

    Я получил бесплатно $100 для обу...

Aрхив статей