Закрыть

Кубатурная формула Симпмсона.

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 16.02.2008 в 15:56
Раздел: Численные методы
Кубатурная формула Симпмсона.

Прямоугольная область интегрирования

Пусть сначала область интегрирования есть прямоугольник:

$R=\{a \leq x \leq A; b \leq x \leq B; \}$

(рис.1), стороны которого параллельны осям координат.

Каждый из промежутков $[a,A]$ и $[b,B]$ разобьем пополам точками.

$x_0=a$ ,$x_1=a+h$,$x_2=a+2h$,

и соответственно

$y_0=a$ ,$y_1=a+k$,$y_2=y+2k$

где

$h=(A-a)/2$

$k=(B-b)/2$

 

Всего, таким образом, получим девять точек $(x_{i},y_{j}), (i,j=0,1,2).$

Имеем:

$\displaystyle{ \iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \int_{a}^{A}{dx} \int_{b}^{B}{f(x,y)dy}}$ (1)

Отсюда, вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона, находим:

$\displaystyle{ \iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \int_{a}^A dx \frac{k}{3}(f(x,y_0)+4f(x,y_1)+f(x,y_2))=}$

$\displaystyle{=\frac{k}{3}(\int_{a}^A f(x,y_0)dx+4 \int_{a}^A f(x,y_1)dx + \int_{a}^A f(x,y_2)dx)$

Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим:

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \frac{hk}{9}((f(x_0,y_0)+4f(x_1,y_0)+f(x_2,y_0))+}$

$\displaystyle{+4(f(x_0,y_1)+4f(x_1,y_1)+f(x_2,y_1))+(f(x_0,y_2)+4f(x_1,y_2)+f(x_2,y_2)))}$

или

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \frac{hk}{9}((f(x_0,y_0)+f(x_2,y_0)+}$

$\displaystyle{+f(x_0,y_2)+f(x_2,y_2))+4(f(x_1,y_0)+f(x_0,y_1)+f(x_2,y_1)+f(x_1,y_2))+16f(x_1,y_1))}$   (2)

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой Симпсона.       

Следовательно,

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \frac{hk}{9}(\sigma_0+4\sigma_1+16\sigma_2)}$

где $\sigma_0$ - сумма значений подынтегральной функции   в вершинах прямоугольника R, $\sigma_1$ - сумма значений в серединах сторон прямоугольника R,$\sigma_2=f(x_{1},y_{1})$ - значениe функции f(x,y) в центре прямоугольника R.

Если размеры прямоугольника $R=\{a \leq x \leq A; b \leq x \leq B; \}$ велики, то для увеличения точности кубатурной формулы (2) область R разбивают на систему прямоугольников, к каждому из которых применяют кубаторную формулу Симпсона.

Положим, что стороны прямоугольника R мы разделили соответственно на n и m равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть nm прямоугольников.

Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы $M_{ij}$ кубатурной формулы.

Пусть

$h=(A-a)/(2n)$

$k=(B-b)/(2m)$

Тогда сеть будет иметь следующие координаты:

$x_{i}=a+ih, i=0,1,2,...,2n$

$y_{j}=b+jk, j=0,1,2,...,2k$

Для сокращения введем обозначение

$f(x_{i},y_{j})=f_{ij}$

 

Применяя формулу (2) к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь:

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \frac{hk}{9}\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}((f_{2i,2j}+f_{2i+2,2j}+f_{2i+2,2j+2}+f_{2i,2j+2})+}$

$\displaystyle{+4(f_{2i+1,2j}+f_{2i+2,2j+1}+f_{2i+1,2j+2}+f_{2i+1,2j+1})+16f_{2i+1,2j+1}}$   (3)

Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим:

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \frac{hk}{9}\sum_{i=0}^{2n}\sum_{j=0}^{2m}\lambda_{ij} f_{ij} }$

где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы

$\displaystyle{\Lambda = \left[ \begin{array}{rrrrrrrrrr} 1 & 4 & 2 & 4 & 2 & \cdots & 4 & 2 & 4 & 1 \\ 4 & 16 & 8 & 16 & 8 & \cdots & 16 & 8 & 16 & 4 \\ 2 & 8 & 4 & 8 & 4 & \cdots & 8 & 4 & 8 & 2 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 2 & 8 & 4 & 8 & 4 & \cdots & 8 & 4 & 8 & 2 \\ 4 & 16 & 8 & 16 & 8 & \cdots & 16 & 8 & 16 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 4 & 2 & \cdots & 4 & 2 & 4 & 1 \end{array} \right]}$

Криволинейная область интегрирования

Если область интегрирования $\sigma$-криволинейная, то строим прямоугольник R такой, что $\sigma \in R$ и стороны которого параллельны осям координат.

Рассмотрим вспомогательную функцию

$\displaystyle{f^*(x,y) = \left\{ \begin{array}{r} f(x,y), (x,y) \in \sigma \\ 0, (x,y) \in R-\sigma \end{array}$

В таком случае, очевидно, имеем:

$\displaystyle{\iint_{(R)} f(x,y)dxdy = \iint_{(R)} f^*(x,y)dxdy}$

Последний интеграл приближенно может быть вычислен по общей кубатурной формуле(3).

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей