Закрыть

Простейшие квадратурные формулы.

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 16.02.2008 в 15:56
Раздел: Численные методы

Вычисление определённого интеграла методом прямоугольников

Как известно, определённый интеграл в силу своего построения есть предел интегральных сумм:

$\displaystyle{\int_{a}^b f(x)dx = \lim_{\max h_i \to 0} \sum_{i=1}^n h_i f(\xi_i)}$ (1)

каждая из которых соответствует некоторому разбиению

$D_n: a=x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n =b$

отрезка $[a,b]$ и произвольному набору точек $x_{\xi_i} \in [x_{i-1},x_{i}]$ для каждого разбиения $h_i=x_i–x_{i-1}$.

Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части равенства (1) и принимая в качестве набора $x_{\xi_i}$ те или иные значения аргумента из отрезков $[x_{i-1},x_{i}]$, получим соответственно формулу левых или правых прямоугольников ( $h_i=(a-b)/n=const$):

$\displaystyle{I = \int_a^b f(x)dx \approx (b-a) \sum_{i=0}^{n-1} \frac{f_i}{n} = I_l}$ (2)

$\displaystyle{I = \int_a^b f(x)dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{i=1}^{n} f_{i-1} = I_r}$ (3)

Наиболее часто используемой формулой, основанной на представлении определённого интеграла в виде интегральной суммы, является формула прямоугольников, где в качестве $x_{\xi_i}$ берут середины отрезков $[x_{i-1},x_{i}]$. Для равномерной сетки ( $h_i=h$) эта формула имеет следующий вид:

$\displaystyle{I = \int_a^b f(x)dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f_{i-\frac12} = I_n}$ (4)

где $f_{1/2} = f(x_i-h/2)$,$x_0=a$,$x_n=b$

Остаточный член приближённой формулы (4) имеет вид:

$\Delta \leq \frac{(b-a)}{24} h^2 M$ (5)

где

$\displaystyle{ M= \max_{[a,b]} |f''(x)|}$.

Вычисление определённого интеграла методом трапеций

Представим функцию в виде

$f(x)=f(a)+\frac{(x-a)}{(b-a)} [f(b)-f(a)]-(x-a)(x-b) \frac{f''(\eta)}{2}$

где $\eta \in (a,b)$

Интегрируя правую и левую части этого равенства и используя вторую теорему о среднем значении функции при интегрировании последнего слагаемого правой части, получаем

$\displaystyle{\int_a^b f(x)dx=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta)}$

где $\eta \in (a,b)$

Таким образом, предполагая, что отрезок интегрирования мал, получаем квадратурную формулу, называемую формулой трпеций:

$\displaystyle{I = \int_a^b f(x)dx \approx \frac{(b-a)}{2}[f(a)+f(b)] = I_2}$ (6)

с остаточным членом

$R[f] = I - I_2 = - \frac{(b-a)^3}{2}f''(\eta)$ (7)

где $\eta \in (a,b)$

Используя выражение (7) для остаточного члена, оценку погрешности квадратурной формулы (6) можно представить в виде

$\Delta_1 = \left| \int_a^b f(x)dx - \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b)) \right| \leq \frac{(b-a)^3}{12}M^2$ (8)

где

$\displaystyle{M_2 = \max_{[a,b]} |f''(x) |}$.

Оценка вычислительной погрешности при расчетах по формуле (6) для случая, когда значение функции известно с одинаковой точностью e, имеет вид

$\Delta_2 \leq \frac{b-a}{2}(\varepsilon+\varepsilon) = (b-a) \varepsilon$

 

Небольшие выводы

Формула трапеций дает значение интеграла значительно точнее, чем фор-мула прямоугольников. Это связано с тем, что значение остаточного члена формулы трапеций меньше значения остаточного члена формулы прямоугольников при одинаковом числе узлов n.

В клучае гладких и унимодальных функций приближенное вычисление их интегралов должно быть точнее по формуле прямоугольников.

Квадратурная формула трапеций является точной для линейных функций, так как значение второй производной линейной функции равно нулю, и, следовательно, оста-точный член формулы трапеций будет равен нулю. 

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей