Закрыть

Интерполяционный полином в форме Лагранжа.

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 29.02.2008 в 15:56
Раздел: Приближение функций

Интерполяционный полином, очевидно, можно построить в форме

$\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{i=0}^{n} f(x_i) g_i(x)}$ $ $ $  (1)

где $g_i(x)$ - многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

$g_i(x)=\displaystyle{\left\lbrace \begin{array}{rr} 1, & x=x_i \\ 0, & x=x_j, i \ne j \end{array}}$,    (2)

Свойством (2), в частности, обладает полином вида:

$L_j (x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_n)}{(x_j-x_0)(x_j-x_1)...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})...(x_j-x_n)}$       (3)

Тогда:

$\displaystyle{P_n(x)=\sum_{i=0}^{n} L_i(x) f(x_i) = \sum_{i=0}^{n} B_i \prod_{j=0,i \ne j}^{n} (x-x_j)}$      (4)

где $\displaystyle{B_i=\frac{f(x_i)}{\prod_{j=0,i \ne j}^{n} (x_i-x_j)}}$      (5)

Выражения (4) и (5) совместно образуют интерполяционную формулу Лагранжа. Отметим, что коэффициенты Лагранжа (3) не зависят от значений интерполируемой функции в узлах. Это существенно снижает вычислительные затраты при интерполировании системы функций на общей сетке.

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей