Закрыть

Фракталы. Что это такое?

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 20.08.2009 в 11:13
Раздел: Анализ
Теги:
Фракталы. Что это такое?

Фракталы. Что это такое?

Фракталы. Что это такое?

Фракталы. Что это такое?

Фрактал... У многих это слово ассоциируется с крассивыми картинками. Что же это такое?

Удивительно, но точного общепринятого определения этого понятия пока нет. Термин же "фрактал" происходит от латинского fractus (разбитый, сломанный), от него же происходят и слова fraction, fractional (дробь, дробный).

С математической же точки зрения фракталы - это множества с дробной размарностью. По первому определению Мандельброта - множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность.По второму определению - самоподобная структура, то есть, ее элементы в какой-то мере подобны всей структуре. Иначе говоря, если смотреть на фрактал через мокроскоп, то при любом увеличении мы будем сидеть одну и туже картинку.

Однако не одно из этих определений не дает возможность представить себе, что такое фрактал. Думаю, тут лучше было начать не с опрелеения, а с примеров.

Известно, что линия имеет одно измерение. Поверхность - два. Пространственная фигура - три. Фрактал же - это не первое, не второе, не третье. Это - что-то среднее. Квадрат на плоскости со стороной $l$ - фигура, которая имеет площадь $l^2$, аналогично куб имеет объем $l^3$. Размерность показывает по какому законы растет его внутрянняя область. Тогда, по аналогии с ростом размеров возрастает объем "объем фрактала", только размерность у него дробная. Поэтому граница фрактальной области не линия: при большом увеличении можно, заметить, что она размыта, и вся состоит из кусочков.Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает "объем" фрактала, но его размерность - величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или масштабным самоподобием, скейлингом (от англ. scaling). Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность облака или клуба дыма, точнее их границ, размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Аналогичным образом можно подсчитать реальных объектов, вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка 2,7. Все объекты с нечеткой, неупорядоченной, хаотичной, изломанной структурой оказались фракталами или состоящими из фракталов. Заметим, что связь между хаосом и фракталами далеко не случайна - она выражает их глубокую общность. Вопрос этот связан прежде всего с одной из интенсивно развивающихся в последние 40 лет областей науки - динамическим хаосом. Так уравнения, детерминированные системами с динамическим хаосом нередко приводят к хаотическим решениям, хаотическим в смысле крайней неустойчивости, при которой малейшая неточность при задании начальных данных настолько сильно влияет на динамику системы, что ее поведение становится фактически непредсказуемым. При этом оказалось, что фракталы, как геометрические понятия, могут быть успешно применены при описании траекторий хаотических систем. Более того, можно сказать, что фракталы - геометрические образы хаоса, а фрактальная геометрия - геометрия хаоса, беспорядка. Таким образом, ключевыми понятиями теории фракталов являются дробная размерность и масштабное самоподобие. Существуют их математически строгие определения.

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей