Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. В этой приводятся некоторые методы разложения многочленов в произведение множителей первой и второй степени, поскольку знания такого разложения достаточно для решения алгебраических уравнений и неравенств.
Вынесение общего множителя.
Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
$х^3 -Зх^2 +4х$.
РЕШЕНИЕ. Все члены данного многочлена содержат общий множитель х. Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители
$х^3 - 3х^2 + 4х = х(х^2 - Зх + 4)$.
Применение формул сокращенного умножения.
Иногда многочлен $Р_n(х)$ можно разложить на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$а^2-b^2 = (а-b)(а + b)$,
$а^3 + b^3 = (а + b)(а^2-аb + b^2)$,
a^3-b^3 = (а - b)(а^2+аb + b^2)$,
$а^4-b^4 = (а^2-b^2)(а^2 + b^2) = (а-Ь)(а + b)(а^2 + b^2)$,
...
$а^n-b^n = (а - Ь)(а^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + a^{2}b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$, n-натуральное число.
Пример 2. Разложить на множители многочлен
$(х^2+2х)-(х + 1)^2$.
Решение. Применяя формулу $а^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$, имеем
$(х^2 + 2х)^2 - (х + 1)^2 = (х^2 + 2х - х - 1)(х2 + 2х + х + 1) = (х^2 +х- 1)(х^2 + Зx+1)$.
Выделение полного квадрата.
Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов.
Пример 3. Разложить на множители многочлен
$x^4+6x^2-10$
Решение. Выделяя полный квадрат, а затем применяя формулу разности квадратов, имеем
$х^4 + 6х^2 - 10 = ((x^2)^2 + 2*3*x^2 + 3^2 -3^2-10)= (x^2 + 3)^2 - 19 = (x^2 + 3)^2 - (\sqrt{19})^2 = (x^2 + 3 - \sqrt{19})(x^2 + 3 + \sqrt{19})$
Группировка
.
Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшем объединении в группы таким образом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем уже для каждой группы.
Пример 4. Разложить на множители многочлен
$х^4 - 5х^2 + х^3 - 5х$.
Решение. Объединим в одну группу первое и второе слагаемые, а в другую — третье и четвертое слагаемые. Тогда имеем
$х^4 - 5х^2 + х^3 - 5х = (х^4 - 5х^2) + (х^3 - 5х)$. Вынося из первой скобки множитель х^2, а из второй скобки х, получаем
$(х^4 - 5х^2) + (х^3 - 5х) = x^2(х^2 - 5) + x(х^2 - 5)$.
Наконец, вынося за скобку общий множитель $х^2 - 5$, получаем, что $x^2(х^2 - 5) + x(х^2 - 5) = (х^2 - 5)(х^2 + х)$, и, наконец, вынося за скобки множитель х, получим, что $(х^2 - 5)(х^2 + х) = x(х^2 - 5)(х + 1)$.
Метод неопределенных коэффициентов.
Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей - многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:
1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х
2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;
3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени.
Пример 5. Разложить на множители многочлен
$x^3-5x^2+7x-3$
РЕШЕНИЕ. Будем искать многочлены $x-\alpha$ и $\beta_1 x^2 + \beta_2 x +\beta_3$ такие, что справедливо тождественное равенство
$x^3-5x^2+7x-3 = (x-\alpha)(\beta_1 x^2 + \beta_2 x +\beta_3)$ (1)
Правую часть этого равенства можно записать в виде
$\beta_1 x^3 + (\beta_2-\alpha\beta_1)x^2 + (\beta_3-\alpha\beta_2)x + \alpha\beta_3$
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения $\alpha, \beta_1, \beta_2,\beta_3$:
$\beta_1 = 1$
$\beta_2-\alpha\beta_1 = -5$
$\beta_3-\alpha\beta_2 = 7$
$\alpha\beta_3 = 3$
Легко видеть, что этим равенствам удовлетворяют числа $\alpha = 3, \beta_1 = 1, \beta_2 = -2,\beta_3 = 1$, а это означает, что многочлен $$x^3-5x^2+7x-3$ разлагается на множители $x-3$ и $x^2-2x+1$
Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.
Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:
1) если многочлен $a^n+a_{n-1}x+...+a_0 x^n$, $a_0 \ne 0$, с целыми коэффициентами имеет корень $х_0 = p/q$ (где $p/q$ — несокра- несократимая дробь), то р — делитель свободного члена $a_n$, a q — делитель старшего коэффициента $a_0$;
2) если каким-либо образом подобран корень $х = \alpha$ многочлена $Рn(x)$ степени n, то многочлен $Рn(х)$ можно представить в виде $Р_n(х) = (х — a) P_{n-1}(x)$, где $P_{n-1}(x)$ — многочлен степени $n-1$.
Многочлен $P_{n-1}(x)$ можно найти либо делением многочлена $P_{n}(x)$ на двучлен (х — а) "столбиком", либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя х — а , либо методом неопределенных коэффициентов.
Метод введения параметра.
Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере.
Пример 7. Разложить на множители многочлен
$x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3$
Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а
$x^3 - (a+1)x^2+a^2$,
который при $а = \sqrt(3)$ превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а:
$a^2 - ax^2 + (x^3-x^2)$
Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть $a_1 = х$ и $а_2 = х^2 — х$, то справедливо равенство $x^3 - (a+1)x^2+a^2 = (a-x)(a-x^2+x) $. Следовательно, многочлен $x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3$ разлагается на множители $(\sqrt(3)-x)$ и $(\sqrt(3)-x^2+x)$, т. е.
$x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3 = (\sqrt(3)-x)(\sqrt(3)-x^2+x)$
Метод введения новой неизвестной.
В некоторых случаях путем замены выражения $f(x)$, входящего в многочлен $Р_n(х)$, через $y$ можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(x) получаем разложение на множители многочлена $Р_n(х)$.
Пример 9. Разложить на множители многочлен
$x(x+1)(x+2)(x+3)-15$
РЕШЕНИЕ. Преобразуем данный многочлен следующим образом:
$х(х + 1)(х + 2)(х + 3) - 15 = [х(х + 3)][(х +1)(х + 2)] - 15 = (x^2 + Зх)(х^2 + Зх + 2) - 15.
Обозначим $х^2 + 3х$ через у. Тогда имеем
$у(у + 2) - 15= у^2 + 2у - 15 = у^2 + 2у + 1 - 16 = (y+1+4)(y+1-4) = (у + 5)(у - 3)$.
Поэтому
$х(х + 1)(х + 2)(х + 3) - 15 = (х^2 + Зх + 5)(х^2 + Зх - 3)$
Комбинирование различных методов.
Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов. Такой подход позволяет максимально быстро получить тербуемое разложение многочлена на множители.
