Закрыть

Разложение многочлена на множители

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 28.08.2009 в 11:13
Раздел: Теория чисел
Теги:

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. В этой приводятся некоторые методы разложения многочленов в произведение множителей первой и второй степени, поскольку знания такого разложения достаточно для решения алгебраических уравнений и неравенств.

 

Вынесение общего множителя.

 

Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

$х^3 -Зх^2 +4х$.

РЕШЕНИЕ. Все члены данного многочлена содержат общий множитель х. Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители

$х^3 - 3х^2 + 4х = х(х^2 - Зх + 4)$.

 

Применение формул сокращенного умножения.

 

Иногда многочлен $Р_n(х)$ можно разложить на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$а^2-b^2 = (а-b)(а + b)$,

$а^3 + b^3 = (а + b)(а^2-аb + b^2)$,

a^3-b^3 = (а - b)(а^2+аb + b^2)$,

$а^4-b^4 = (а^2-b^2)(а^2 + b^2) = (а-Ь)(а + b)(а^2 + b^2)$,

...

$а^n-b^n = (а - Ь)(а^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + a^{2}b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$, n-натуральное число.

Пример 2. Разложить на множители многочлен

$(х^2+2х)-(х + 1)^2$.

Решение. Применяя формулу $а^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$, имеем

$(х^2 + 2х)^2 - (х + 1)^2 = (х^2 + 2х - х - 1)(х2 + 2х + х + 1) = (х^2 +х- 1)(х^2 + Зx+1)$.

 

Выделение полного квадрата.

 

Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

$x^4+6x^2-10$

Решение. Выделяя полный квадрат, а затем применяя формулу разности квадратов, имеем

$х^4 + 6х^2 - 10 = ((x^2)^2 + 2*3*x^2 + 3^2 -3^2-10)= (x^2 + 3)^2 - 19 = (x^2 + 3)^2 - (\sqrt{19})^2 = (x^2 + 3 - \sqrt{19})(x^2 + 3 + \sqrt{19})$

 

Группировка

.

 

Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшем объединении в группы таким образом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем уже для каждой группы.

Пример 4. Разложить на множители многочлен

$х^4 - 5х^2 + х^3 - 5х$.

Решение. Объединим в одну группу первое и второе слагаемые, а в другую — третье и четвертое слагаемые. Тогда имеем

$х^4 - 5х^2 + х^3 - 5х = (х^4 - 5х^2) + (х^3 - 5х)$. Вынося из первой скобки множитель х^2, а из второй скобки х, получаем

$(х^4 - 5х^2) + (х^3 - 5х) = x^2(х^2 - 5) + x(х^2 - 5)$.

Наконец, вынося за скобку общий множитель $х^2 - 5$, получаем, что $x^2(х^2 - 5) + x(х^2 - 5) = (х^2 - 5)(х^2 + х)$, и, наконец, вынося за скобки множитель х, получим, что $(х^2 - 5)(х^2 + х) = x(х^2 - 5)(х + 1)$.

 

Метод неопределенных коэффициентов.

 

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей - многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х

2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;

3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени.

Пример 5. Разложить на множители многочлен

$x^3-5x^2+7x-3$

РЕШЕНИЕ. Будем искать многочлены $x-\alpha$ и $\beta_1 x^2 + \beta_2 x +\beta_3$ такие, что справедливо тождественное равенство

$x^3-5x^2+7x-3 = (x-\alpha)(\beta_1 x^2 + \beta_2 x +\beta_3)$    (1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде

$\beta_1 x^3 + (\beta_2-\alpha\beta_1)x^2 + (\beta_3-\alpha\beta_2)x + \alpha\beta_3$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения $\alpha, \beta_1, \beta_2,\beta_3$:

$\beta_1 = 1$

$\beta_2-\alpha\beta_1 = -5$

$\beta_3-\alpha\beta_2 = 7$

$\alpha\beta_3 = 3$

Легко видеть, что этим равенствам удовлетворяют числа $\alpha = 3, \beta_1 = 1, \beta_2 = -2,\beta_3 = 1$, а это означает, что многочлен $$x^3-5x^2+7x-3$ разлагается на множители $x-3$ и $x^2-2x+1$

Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен $a^n+a_{n-1}x+...+a_0 x^n$, $a_0 \ne 0$, с целыми коэффициентами имеет корень $х_0 = p/q$ (где $p/q$ — несокра- несократимая дробь), то р — делитель свободного члена $a_n$, a q — делитель старшего коэффициента $a_0$;

2) если каким-либо образом подобран корень $х = \alpha$ многочлена $Рn(x)$ степени n, то многочлен $Рn(х)$ можно представить в виде $Р_n(х) = (х — a) P_{n-1}(x)$, где $P_{n-1}(x)$ — многочлен степени $n-1$.

Многочлен $P_{n-1}(x)$ можно найти либо делением многочлена $P_{n}(x)$ на двучлен (х — а) "столбиком", либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя х — а , либо методом неопределенных коэффициентов.

Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере.

Пример 7. Разложить на множители многочлен

$x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3$

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а

$x^3 - (a+1)x^2+a^2$,

который при $а = \sqrt(3)$ превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а:

$a^2 - ax^2 + (x^3-x^2)$

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть $a_1 = х$ и $а_2 = х^2 — х$, то справедливо равенство $x^3 - (a+1)x^2+a^2 = (a-x)(a-x^2+x) $. Следовательно, многочлен $x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3$ разлагается на множители $(\sqrt(3)-x)$ и  $(\sqrt(3)-x^2+x)$, т. е.

$x^3 - (\sqrt(3)+1)x^2+3 = (\sqrt(3)-x)(\sqrt(3)-x^2+x)$

 

Метод введения новой неизвестной.

В некоторых случаях путем замены выражения $f(x)$, входящего в многочлен $Р_n(х)$, через $y$ можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(x) получаем разложение на множители многочлена $Р_n(х)$.

Пример 9. Разложить на множители многочлен

$x(x+1)(x+2)(x+3)-15$

РЕШЕНИЕ. Преобразуем данный многочлен следующим образом:

$х(х + 1)(х + 2)(х + 3) - 15 = [х(х + 3)][(х +1)(х + 2)] - 15 = (x^2 + Зх)(х^2 + Зх + 2) - 15.

Обозначим $х^2 + 3х$ через у. Тогда имеем

$у(у + 2) - 15= у^2 + 2у - 15 = у^2 + 2у + 1 - 16 = (y+1+4)(y+1-4) = (у + 5)(у - 3)$.

Поэтому

$х(х + 1)(х + 2)(х + 3) - 15 = (х^2 + Зх + 5)(х^2 + Зх - 3)$

Комбинирование различных методов.

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов. Такой подход позволяет максимально быстро получить тербуемое разложение многочлена на множители.

 

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей