Закрыть

2. Генезис основных математических понятий.

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 08.09.2010 в 20:45
Раздел: Статья 1. История точки. Пустая ли точка ?
Теги:

Предпосылки, лежащие в основе генезиса основных матемагических понятий ).

Понимая под математикой познание количественных закономер­ностей процесса отражения, можно сказать, что математика и есть теория отражения, но вскрывающая процесс отражения со стороны количественных закономерностей, По этому элементарный акт отра­жения должен проявляются в генезисе элементарных математичес­ких понятий. С другой стороны, он  является основным средством, установкой, стереотипом, лежащим в основании человеческого мышления,  для каждого определённого этапа исторического развития математических понятий, тем, посредством чего,  формулируется "новые" математические понятия

В  конце главы первой,  сформулирован элементарный акт диалектического, супралимитного отрицания, который выражает­ся, опосредуется в двух формах границ:  интралимитной и инселимитной, -  единство которых характеризует процесс самоотражения,  самоотрицания, а тем самым узловые пункты исторического развития.

Со стороны интралимитной границы процесса отрицания:

I. Принцип равномерности,  равнообъёмности,

Со стороны инселимитной границы процесса отрицания:

2. Принцип удвоения мер, удвоения объёмов.

Эти принципы должны проявляться в историческом развитии человеческого мышления в становлении "количественного" позна­ния объективного мира.

Что мы наблюдаем в истории?

Во-первых, эти закономерности проявляются в становлении меха­низмов психического отражения, посредством специфических психичес­ких образований:  суггестии, контрсуггестии, тормозной доминанты,  дипластии,  и т. п. -  этот специфический психологический аппарат раз­вёрнут Б. Ф. Поршневым:

"...как показывают психологические и физиологические иссле­дования...  именно повторение чужих слов является самой быстрой реакцией, легче всего прокладывающей дорогу в нервных тканях моз­га" ( 17. с. I46 ),  С другой стороны, "Любой простейший акт осмыслен­ной речи  ( иными словами за  вычетом чисто эмоциональных междометий ), как установило языкознание, является двухэлементным, или дуальным. Одноэлементных нет." ( 17. с. 149 ).  Б. В. Поршнев ссылает­ся на Анри Баллона, который утверждал, что "Дуальность предшест­вует единичности" ( там же ).

В связи с этим, Б. Ф. Поршнев вводит понятие "дипластии" -  как неврологический, или психологический, присущий только человеку феномен отождествления двух элементов,  которые абсолютно исключают друг друга. На языке физиологии высшей нервной деятельности, это затянутая, стабилизированная ситуация "сшибки" двух "противопо­ложных нервных процессов, т. е.  возбуждения и торможения"  ( 18. с. 450,  468, 476, ...). Дипластия - единственная адекватная форма суггестив­ного раздражителя центральной нервной системы.  То, что у животных  - катастрофа, здесь, в антропогенезе, используется как фундамент новой системы»  ( 18. с. 45I ).  "Универсальная операция, с одной стороны, высшей нервной деятельности животных, а с другой  - формальной ло­гики – дихотомия ...  Однако, в эволюции, между тем и другим, несмотря на всё их сходство, лежит уровень сочетаний, который не является  дихотомией и обратный ей: дипластия" ( 18, с. 470 ), "Создание диплас­тии - сублогика, преодоление дипластии  -  формальная логика. Преодоление дипластии можно определить так же, как дезабсурдизапию абсур­да. Обычно абсурд выступает просто как невыполнение условий логики. Но если перевернуть,  логика - это невыполнение условий абсурда. Такая инверсия не будет забавой ума и тавтологией, если даст более широ­кое обобщение. Так оно и есть. Как условие абсурда можно было бы сформулировать противоположность трём законам логики:  1.  Обязатель­ность многозначности  ( минимум двусмысленности терминов ) .  2. Обязательность противоречия,  3. Вместо  "или -  или"  -  "и  -  и".   Дипластия под углом зрения физиологических процессов - это эмоция, под углом зрения  логики  -  это абсурд" ( 18. с. 470 ).

Специфику зарождающегося мышления Б. Ф. Поршнев формулирует сквозь призму двух указанных принципов:  "Во-первых, ... связывание процессом противопоставления, т. е.  взаимного исключения...Эта антонимическая деятельность ума выступает уже в трёх формах: Замена "бинарной структуры ( дипластии ) "бинарной оппозицией", т. е.  сдвоен­ности - раздвоенности».. Как видно, здесь производится не только отрицание, но и обобщение  (в негативной форме )  неограниченного объёма явлений одного рода, одного порядка ... здесь мы видим нега­тивную связь той безграничности объёма, которая составляет другой полюс характеристики общего понятия.  3. Образование контраста и несовместимости посредством отрицания типа  "не",  "без",  "а",  и  т. п.  Во-вторых,  несходные элементы расщеплённой дипдастии интеллект соединяет посредством подведения их под общую "крышу"... В-третьих,  интеллект соединяет несвязанные наглядно, несходные,  не имеющие контрастной или категориальной связи элементов расщеплённой дип­ластии ещё одним мостом:  причинно - следственной связью. Причина и  следствие, как категории, сами контрастны. Они делают ненужным ка­кой бы то ни был общий множитель между двумя величинами вещей"  ( 18. с. 477 - 479 ) ;  "Как призывается интеллектом в его историческом становлении возникающий тут абсурд?  Во -первых, приравнивание нолю различия между двумя  ( и более ) элементами есть начало перечисления и счёта. Без этого компонента названные выше условий было бы всё ещё недостаточно для генезиса общих понятий, ибо общее понятие - счётное множество, оно подразумевает возможность и необходимость отличия от различий между частными понятиями и объектами, следо­вательно ставит их счётный ряд. Счисление - это мыслительное окончание серии, не обязательно совпадающее с её материальным исчерпыванием. Его логический генезис опять-таки восходит к двойке которая начинает серию. Это счисление не предметов, а интервалов. Здесь сопоставляются довольно абстрактные свойства вещей: не сами они,  но "зияния" между ними..." ( 18. с. 480 - 483 ).

В этом же плане, изучая числа в графике древнего палеолита, Б. А. Фролов, выделяет числа - совокупности становящегося счёта,  и  спе­циально подчёркивает, что древнейшая из счётных систем  -  двоичная. ( 19. с. П5 ).

Во-вторых,  сформулированные нами закономерности проявляются не только в мышлении, но и  в  языке. Здесь мы опираемся на работы  В. З. Панфилова, который рассмотрел категории количества в становлении мышления и языка ( 20, гл. У ).  "Расслоение" числа на количественное и порядковое число, на "первичность"  количественных числительных  перед порядковыми  следует из работы В. З. Панфилова.

В добавлении к рассмотренным закономерностям обратимся к становлению в языке понятий  "одного"  и  "два",  проанализированным  В. З. Панфиловым:

 "Этимологический анализ  числительных "один" в самых различных языках  показывает,  таким образом, что понятие "один" формиро­валось в неразрывной связи и на основе процесса выделения чело­века из окружающей его действительности,  осознания им своего собственного  "я", как нечто обособленного и противопоставляемого всем остальным предметам внешнего мира и остальным членам той человеческой общности, к которой он принадлежал" ( 20. с. I8I ).  Это осознание человеком самого себя есть первый акт самосознания,  который рассмотрен в работе «Феномен Зеркала в истории культуры»  есть первый акт самоудвоения себя в окружающем мире, за счёт которого проис­ходит обособление и осознание себя как "одного".

Следующий этап самоосознания связан с удвоением себя через свою границу, который мы проанализировали в аспекте самоотражения,  самоотрицания числа в своей границе.  «Два" -  это результат снятия оппозиции:  "одного"  и "иного"," многого"  в  "своём одном", в своей границе.  "Этимологический анализ показывает, что числовое обоз­начение  "два"  в ряде языков возникает как результат переосмыс­ления того слова, которое обозначало понятие  "больше чем один"   ( "много" ). Из этого следует, что и возникающая грамматическая категория числа конституируется на основе оппозиции не форм со значением единичности и двоичности, а форм со значением еди­ничности и множественности».  И лишь затем во многих языках возникают также формы двойственного или даже тройственного числа, причём доказано, что во всяком случае в ряде языков для выраже­ния двойственного числа используется грамматическая форма, ранее выражавшая множественное число"  ( 20. с. 275 ).

Рассмотрим теперь, как сформулированные нами два принципа, проявляли себя в истории математики, как основные установки  стереотипы общественного сознания, с помощью которых, проявляясь через которые и происходило формулирование основных математичес­ких образований.

Так как мы рассматриваем прежде всего стереотипы именно об­щественного сознания, то необходимо упомянуть материальные корни.  которые, по мнению Иванова Вяч. Ве. ( 21. ); Золотарёва  А. М. ( 22.  ), и других исследователей, -  лежат в дуальной организации первобытных народов, определяя дуальную организацию мифологического общест­венного сознания; которая осталась как фундамент религиозного исторического сознания, в понятии дуальности, двухярусности рели­гиозного мира по С. С. Аверинцеву  ( 23. с. 280 – 281), -  и составляет фундамент секуляризованной общественной действительности: мир "объясняется"  формально - логически,  или,  если существует многокачественный  взаимопереход противоположностей друг в друга, то как диалектическое противоречие.

Историческое развитие математических понятий  ( математических "объектов", "операций" и  т. п. ) характерно для всех регионов древнего мира, в которых проявляются два указанных принципа, два типа границ   ( интралимитной и инселимитной ), посредством которых происходит и новообразование и различение. Примером может слу­жить два уровня  различения  субьектно  объектных  отношений  в  "Упанишадах"  проведённый А. Я. Сыркиным ( 24. с. 24I ), которые соответст­вуют двум типам границ.

Исторический материал мы будем излагать по регионам: 1. Древний Египет;  2.  Древний Китай;  З. Древнюю Русь;  4. Древнюю Грецию, 5. Средневековье, Новое  и  Новейшее время на отдельных примерах.  6. Современная значимость.  В изложении материала,  будем обра­щать внимание преимущественно не на двоичность, а на удвоение  т. е.  то, что в психологии. Б. Ф. Поршнев называл  "дипластией".

п. I. Древний Египет:

В древнеегипетской арифметике все действия, -  умножение, деле­ние,  сводились к удвоению, раздвоению и сложению. Эта точка зрения является общепризнанной,  например,  в работах Ван  дер  Вандена  ( 25,  с. 22, ...) ; Д. Я. Стройка ( 26. с. Э7 ); Б. В. Болгарского ( 27. с. 29 );  Э. Л. Берёзкина,  Д. П. Юшкевич ( 28. с. 23 - 27 ) ; В, Беллюстина ( 29. с. 54 ); и многих других исследователей истории математики. Эта специфика математи­ческих операций относилась не только к целым числам, но и к дробям.

п. 2. Древний Китай:

Аналогично, равнозначность и удвоение являются основными стереотипами по определении математических операций:

Отметим любопытную особенность, Э. И. Берёзкина показывает, что  "Исходное "расширение" области целых чисел совершенно одинаково у всех народов. Во всех языках до сих пор существует слово "половина"  наряду с  "одной второй"   ( на с. 119   Э. И. Берёзкина приводит таб­лицу сравнивая слово "половина" в  Китае,  Египте, Вавилоне, Греции, Франции, Риме -  В. С, ). Всюду обнаружены также индивидуальные названия для третьих долей ... Что касается других простейших дробей, то разные из них получали собственное имя, здесь у каждого народа был свой выбор."  ( 30. с. 119).

Так, "средняя половина" (бань)  -  1/2;   "Меньшая половина   -1/3 ;  "большая половина" - 2/3. (52. с. П8 ). Т. е.  половины могут быть  качественно  различны.

Любопытно понимание дроби как пары чисел: Э. И. Берёзкина при­водит пример из  "Математики в девяти книгах" -  "Правило озаглав­лено: "Сложение дробей" ( хэ фэнь ), хэ  -  буквально  "объединять",  "складывать вместе"  ( современный термин цзя фа) "  ( 30. с. 137 ).

Интересен первоначальный стереотип, стандарт, установка: "объединять" как "удваивать'

Удвоение, раздвоение - было также "формой" создания геометри­ческих понятий; в трактате Сунь – цзы  диагональ называется   "удвоенным расстоянием от угла квадрата до его центра" ( 30. с. 258 );  Лю  Хуэй  в комментариях к  "Математике в девяти книгах" определяя площадь круга:  "Умнож  половину обвода на половину диаметра, по­лучишь площадь в бу" ( 30. с. 266 ). Также формировалось и понятие предела ( зазора ), при определинии площади правильного вписанно­го 2п угольника в круг ( 30. с. 267 ), т. е.  через удвоение.  Березкина Э. И. подчёркивает, что  "Идея предела была применена для вычисле­ния числа - п  методом удвоения числа сторон правильного вписан­ного 6- утольника ..." ( 30. с. 28. ).

 п. 3. Древная Русь:

Аналогично, удвоение и раздвоение были основными арифметичес­кими действиями на Древней Руси, как утверждает, например, Р. А.  Симонов: говоря о том, что все варианты подсчётов можно свести к операциям "нумерации, удвоению, раздвоению" ( 31. с. 55 ). Кроме это­го смысла удвоения и раздвоения, -   "Подтверждением существования операции раздвоения может служить структура многих древнеруских мер",  а "О существовании операции удвоения, может быть, сви­детельствует особое древнерусское определение -"сугубое", выра­жающее удвоенное значение числа" ( 31. с.  72 ).  Древнерусский инстру­ментальный счёт, абак, имел такую же основу: "Математической ос­новой этих перемещений были нумерационные навыки и архаичные действия  "раздвоения" и  "удвоения"  ( 31. с. 74 ).  Для древней куль­туры  "сложность" такой системы счисления можно проиллюстриро­вать применением её в тайнописи   ( 31. с. 69 – 70 ).

п. 4. Древняя Греция:

Для пифагорейцев "удвоение" представляло собой принцип станов­ления, принцип всякого бытия, что было естественной рефлексией над мифологическим сознанием. Примером могут служить представления о чётных и нечётных числах, "...которое с современной точки зрения является теорией делимости на 2 "  ( 28. с. 68 ). Некоторые исследователи античности подчёткивают, что именно две точки - это прямая, две пря­мые - плоскость, две плоскости - пространство.

Два сформулированных нами принципа являются основными стереотипами при формировании "Начал " Евклида:

Примером проявления принципа равномерности могут служить  "аксиомы" (Общие понятия ) с  I по II.  Две последние аксиомы относят то к общим понятиям, то к постулатам. Если в определениях фиксируются наличие самих математических объектов, в постулатах "допускаются" основные операций, которые можно осуществить циркулем и линейкой на плоскости, то аксиомы, есть основные стереотипы математики как в "высшей степени очевидные" ( 32. с. 222).

При формировании математических понятий, равномерность имеет исторически корни в равнообъёмности, но за счёт полифункпиональности, многокачественности материального объёма равномерность приоб­ретает различное выражение на плоскости: 

термина  "умножения" у Евклида нет, есть термин:  будем повто­рять кратиой"  ( 32. с. 153 );  "Равенство Евклид всегда понимает в смысле равновеликости" ( 32. с. 250 );

  Д. Д. Мордухай - Болтовский  подводя итог, подчёркивает, что  "все арифметические действия над числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определён­ного, отвечающего единице" ( 32. с. 372 );  так  "деление" сводится к разложению числа на равные части ( 33. с. 264 ), а "умножение" сводится к сложению целых чисел, как повторению их  ( 33. с. 267 ) и  естественно выделение в античности "совершенных" чисел,  как равных сумме всех своих частей ( 33. с. 351 );

и т.д.

В  "Началах" Евклида,  удвоение проявляется в равномерности, как удвоение единицы, как её повторение.

П. 5. Средневековье, Новое и Новейшее время.

Т. о.  мы видим, что стереотип "удвоения" в Античности был одним из основных, причём он осознавался и в средневековье, как самостоятельный математический объект: В. Беллюстин замечает, что "Арабский математик Аль-Ховаризми ( в IX  в по Р. Х. ), в честь кото­рого  вся система арабской арифметики получила название алгоритма, не считал нумерацию за действие и принимал только следующие шесть: сложение, вычитание, деление пополам, удвоение, умножение,  деление" ( 29. с. 55 ),  и лишь затем, выделились только четыре дейст­вия арифметики. Насколько этот стереотип был сильным можно обна­ружить хотя бы в том, что с   «XIX столетии некоторые немецкие педагоги придумали из одного деления образовать  2 действия, имен­но, во-первых, когда требуется разделить число на несколько рав­ных частей, и, во - вторых,  когда надо узнать, сколько раз одно чис­ло содержится в другом ( 29. с. 55 ).

Историческое развитие принципа равномерности в математическом мышлении, сказалось в переходе от объёмного к плоскостному мышлению. Это видно на истории понятия равенства (  =  ) ( 29. с. 56 ).

Это же историческое развитие принципа удвоения сказалось в  "вывёртывании наизнанку",  в оборачивании удвоения в раздвоения, в дихотомию. Отсюда интерес к двоичной системе счисления в раз­личные исторические периоды:

Двоичную системы счёта применяли: Леонардо Пизанский в  "Книге абака" ( I202 ); Лука Пачули в  "Сумме арифметики";  Дж.  Непер в добавлении к "Рабдологии» ( 1617);  Френсис Бэкон в "О достоинстве и прогрессе наук" ( 1623), и естественно - Лейбниц в "Изложении  двоичной арифметики, для которой достаточно только двух цифр О и 1, с замечаниями о её пользе и о том, что она даёт смысл древним китайским фигурам Фохи" ( 34. с. 41- 42 ). Двоичный принцип лежит в основе вычислительных машин, а как следует из исторического развития  "удвоения -  раздвоения", он является обратным ос­новному принципу отражения ( элементарной клеточке ), основному стереотипу, установке человеческого мышления.

Любопытно, что в дальнейшем, идея удвоения была принципом ре­шения тех или иных математических задач, проблем, формой установ­ления нового. Из примером, отметим работу Дж. Непера "Описание удивительного канона логарифмов" ( 1614 ).  Д. Я. Стройк выделяет главное: "Основной идеей Непера было построение двух последователь­ностей чисел, связанных таким образом, что когда одна из них возрастает в арифметической прогрессии, другая убывает в геометри­ческой. При этом произведение двух чисел второй последователь­ности находится в простой зависимости от суммы соответствующим чисел первой последовательности и умножение можно свести к сло­жению"  ( 26. с. I20 ). Другой пример можно привести из работы Р. Де­карта: "Геометрия" ( I637 ): "Общий способ нахождения прямых линий, пересекающих данные кривые или же их касательные под прямыми углами" ( 35. с. 65 ).  Р. Декарт формулирует идею с помощью которой он решал данную математическую задачу: "Мне...хочется попутно сообщить Вам, что идея введения двух одинакового вида уравне­ний с целью сравнить все члены одного с соответствующими члена­ми другого и таким образом породить несколько уравнений из од­ного, пример чего Вы здесь видели, может пригодится в бесчислен­ном множестве других задач..." ( 57. с. 67). В дальнейшем эта идея  была обобщена Эйлером в связи с понятием функции, -  "как поэле­ментного соответствия между двумя числовыми множествами" ( 35. с. 84 )

 

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей