Закрыть

Историческое развитие понятия "точки"

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 08.09.2010 в 20:54
Раздел: Статья 1. История точки. Пустая ли точка ?
Теги:

3. Историческое развитие понятия "точки", как переход от "объёмного" к "плоскостному"  и от него снова к "объёмному" мироощущению, сквозь призму мировоззреческих предпосылок формулирования математических понятий.

При  определений числа, мы отталкивались от раннего определения ,  точки, как некоторого единичного сферического объёма. Объёмность и сферичность точки наиболее полно выражена у пифагорейцев, -  точка = единица. Для ранней античности вообще харак­терно представление чисел объёмными. Это значимо для ранних этапов математики в разных странах:

В Китае, - единица может быть и линейной и плоскостной и объёмной одни и те же термины использовались и для площади и для объёма  ( 30. с. 250 ), так ещё в "Математике в девяти книгах" термин "цзы"  использовался и для объёмов и для площадей» ( 30. с. 265 ).

В дальнейшем  в  Античности, особенно, после Зенона, понятие точки стало расщепляться на противоположное, фиксирующее  "непротяжённость».    Непротяжённая точка,  как отрицание протяжённости;  как разновидность пустоты.

 Специфику понимания точки - с точки зрения её культурно - истори­ческих предпосылок, -  необходимо оттенить в мировоззренческих пред­посылках формулирования математических понятий.

 Мифологическое мироощущение будучи  "почвой" математических понятий,  обусловило тройственную структуру точки:

а/,  "непротяжённость",

б/,  "соприкосновение",  "касание",

в/,  "твердое",  "осязаемое"  тело.

Эти три момента точки  будучи "мифологическим стереотипом", послужили основыми установками в общественной психологии для форму­лирования понятия точки, и, которое осталось,  почти без изменений,  до начала XIX столетия.

А. Непротяжённость.

Непротяжённость - это одно из свойств пустоты, отмеченной ранее.  Понятие точки, как "непротяжённой" являет­ся основым в геометрии во всем её историческом развитии до XIX века. Объёмность точки изредка встречается в математических работах, но влияния на развития математики, данные интерпретации не оказывали. На­пример, телесная точка была описана у Штиффеля:  "Понимая линию, как след движущейся точки, Штиффель называет куб телесной точкой, а  под телесной  линией и поверхностью он пони­мал результат движения трёхмерного куба в одном или двух направле­ниях, перпендекулярным всем измерениям куба" ( 28. с. 299 ). 3десь объём­ность воспринимается через плоскость, через твёрдое тело.

Евклид начинает  "Начала" с определения точки: "Точка есть то, что не имеет частей" ( 32. с. П ). Исторические корни  двух названий точки,  можно найти, смотря семантические пучки однокоренных слов, используемых для обозначения точки: здесь и "отпечаток", "след"  и точка, как произведённая чем - то на чём - то и т. д.  Например, " stigmh "математическая точка  (Arst ),    ( но: "  stigma " наколотая  отметка; "  stigmow " - укол, колотая рана );  Отсюда понятно, первоначальное понятие точки, как центра . Оно  обозначает колющее орудие, которым в древности погоняли животных в упряжке  ( старое русское слово "рожон" ). В нашем случае речь идёт об острие ножки циркуля, закреплявшейся при вычер­чивании круга. Этим термином пользовался ещё автор первых  "Элемен­тов"  Гиппократ. .Латинские термины возникают не сразу. У Марциада Капеллы ( 5 в. н. э. ) ещё говорится  «  punodum  circult   ( точка круга ),  и  " media nota circult «( средняя метка круга ) " ( 32. с. 234 ).

Эта "производственная" установка на точку в общественном соз­нании   и    предопределило первоначальный стереотип точки как "непротя­жённой".  К этому можно добавить общий стереотип раннего пифаго­реизма о том, что в границе какой-либо вещи, явления, проявляется сама вещь явление, Раннее, мы рассмотрели его при описании парадок­сальности поверхности сферы, указав на то, что сама поверхность должна обладать толщиной, т. е. в границе сферы представлена сама сфера, происходит отображение единичного сферического объёма в своей поверхности.  ( элементарный акт саморазвития,  самоотрицания )

Д. Д. Мордухай - Болтовский комментирует  понятие "границы" у Евклида следующим образом:  "У Евклида говорится   «  orow  estin   stinow  esti  piraw». Слово "  orow " - граница, пограничный камень, и   peraw  - край, оконечность, не соответствуют математическому термину  "предел".  Слово       употребляется,  и в смысле опреде­ления  ( definitio ),  и в смысле границы (  terminos  ). Для греков определить какой - нибуть объект - значило ограничить его от других.   Евклид пишет: "Граница есть то, что является око­нечностью чего-либо" ( 32. с. I2 ). Мы здесь отметим   только двойст­венность " opos " - определить и ограничить, ибо оно означает, не только противопоставить, но и определить себя в границе.

Отметим ещё один момент связанный с "непротяжённостью" :

Он заключается, в том, что за пределами границы нет ничего.  Нет ничего в смысле, - неопределённости, но не бесконечности, Неопределённости в значении одного из свойств пустоты, ничто, небытия.  Это значение  "неограниченности"  как  "неопре­делённости" и употребляет Евклид: "...продолжены в обе стороны неог­раниченно", на что Д. Д. Мордухай -Болтовский комментирует:  «буквально   "в  неопределённость". Греки избегали нашего понятия "бесконечность" ( 32. с. 14 ). Более поздняя рефлексия на понятия "бесконечность" как нам представляется - это рецидив плоскостного", абстрактного, не объёмного мышления.

Исходя из предшествующих установок,  я несогласен с трактовкой Д. Д. Мордухай - Болтовского, что у Евклида дано "отрицательное" опреде­ление точки;  "Существует несколько определений точки. Прежде всего отрицательные, против которых решительно выступают многие методисты. Таково евклидовое определение; в нём отмечается неделимость точки, так что совершенно одинаково определяется и точка и актуально-бесконечно-малюе неделимое в смысле Кеплера и Кавальери, оба понятия сли­ваются.

Конечно, евклидово определение точки менее всего подходило к идеям того времени, когда практиковался метод неделимых. Гораздо лучше с этими идеями ладило определение   Герона - точка то, что не имеет величины  ( по нашему, протяжения ).  Но героновское определение, как и другие отрицательные определения, грешит тем, что под него подходят и  много других вещей, ничего общего не имеющих с точкой.  В средние века подчёркивалось, что точка есть место без протяжения. За положительное  определение точки выставляется обычно то, которым пользуется современный учебник, заставляющий мыслить точку, согласно определению 3 Евклида  ( являющегося для Евклида, по существу, аксиомой ) как границу линии.  С методической точки зрения, оно является лучшим"  (32. с. 224 - 225 ).  Д. Д. Мордухай-Болтовский не замечает, что впадает здесь в порочный круг, ибо в понятии линии, неявно, а  частично и явно входит понятие точки. Поэтому для нас, "отрицательное" определение не есть  не  "лучше", "не хуже" ( здесь моральные оценки исключены ), а это есть    ступень, этап  "абстрактного"  познания элементарных клето­чек человеческого бытия, уходящего своими корнями в мифологическое общественное сознание.

Далее в истории действуют те же первоначальные стереотипы;

"Определение точки и линии как границы находим у Бальцера, Каталана, Руше-Комберусса, Бланшэ,  Рейхенбе     собирает различные определения точки:   1). точка не имеет измерений,  2). не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины,  3). единое и неделимое, наименьшее различимое.

В чисто схоластическом направлении идёт Патриций, пытающийся построить основы геометрии: точка для него не только то, что не имеет частей, но ещё и то, что неделимо  ( ибо части могут получаться и не процессом деления, который относится к континиууму ). Затем точка - не количество, точка не может быть больше и не может быть меньше ( возрастающее им мыслится независимо от делимости ). Точка не сравни­ма. Она не измерима. Она не занимает никакого пространства.  К этим свойствам он присоединяет ещё ряд других, причём всегда отрицатель­ных"  ( 32. с. 225 ).

Непротяжённость точки в истории математики являлось отправным пунктом, установкой, для формирования основных математических понятий - линии, прямой, плоскости, поверхности, объёма ( ? ); была предметом различных метафизических и идеалистических спекуляций.

 Примером может служить агностицизм Н. Кузанского: "точка недоступна для поз­нания" ( 36. с. 236), точка здесь внепространственна, понимается как бесконечное единство ( 36. с. 103 ),  в котором свёрнуты и линия, плос­кость и объёмное тело. Любопытно, что в секуляризованной форме, это понимание точки было восстановлено в XIX веке, как некоего "вмести­лища" ( хотя и использовалось неявно);  Примером могут быть основные определения Клейна в "Эрлангенской программе? ".  «За элементы пря­мой линии, плоскости, пространства, вообще, некоторого исследуемого  многообразия можно взять вместо точки всякий образ содержащийся в многообразии: группу точек, какую - нибуть кривую, поверхность и т. д. ...суть -  в  группе преобразований; число измерений, приписывае­мых нами мнообразию, представляется второстепенным" ( 37. с. 409 ), исторически  "...способ представления, рассматривающий элемент протяжённого многообразия как аналог точки пространства, впервые развит Грассманом" ( 37. с. 430 ). Но это направление не стало довлею­щим, не развита сама установка на объёмность точки, - поэтому осно­вания математики развивались во многом, в рамках спекулятивной программы  Гильберта, вернее развивалось несколько параллельных мате­матических тенденций, исходящих из разных стереотипов мировосприя­тия.

Парадоксальность "непротяжённости" точки выявляется в другом её аспекте, в аспекте "прикосновения", "касания":

Б. «Прикосновение», "касание":

Понятие "прикосновения", "касания"  было важным в Античности, как особенность "натуралистического", "гилозоистского" понимания природы, корни которого уходят в мифологическое историческое созна­ние.  -  На современным философском языке, можно было бы назвать  установку - метафизическим материализмом, который обходит ( от­рицает, игнорирует)  процессы отражения во взаимодействии. Хотя эта тенденция была вполне закономерна для Античности, но многие разде­лы математики и сейчас формулируются на данном понятии...

Важность данного понятия в Античности можно проиллюстриро­вать на любом материале, - с помощью его формулировалось понятия прерывности и непрерывности. Примером может служить Демокрит, который объявляя непрерывность "кажущейся" видел объективное ос­нование этой кажимости в сцеплении атомов, в их  отно­шении "касания" ( 38. с. 34 ), отсюда и было необходимо понятие "крюч­ков" и прочей "механики" "прикосновения».

Понятие прикосновение выражало у Евклида степень "взаимодействия' точки, линии, плоскости, сферы, объёма, т. е.  одного абстрактного "объек­та" с другим. Отметим особенности "касания" у Евклида:   В  "Началах" используется четыре термина: " ххххх  " - со­прикосновение, или Д. Д.  Мордухай - Болтовской переводит как внутреннее, касание; "   ххххх " - внешнее касание; " хххххх "-ка­сание снаружи; "   хххххх  "- касающихся.  ( 32. с. 93, 98, П,).

Д. Д. Мордухай - Болтовской уточняет, что: "У Евклида - дотрагиваюсь сверху, в противоположность более общему  хххххх  - тро­гаю, которое в этом определении и в следующем переводится просто "встречаю"  ( 32. с. 80 ). т. е. "прикосновение" как сторона точки имеет разные степени абстракции от обычного человеческого телесного "прикосновения"  к чему - либо, т. е.  абстракция над чувством осязания.

Любопытно другое замечание Д. Д. Мордухай - Болтовского:  "У Евкли­да  …   - строго говоря  не в точку касания, а в место или область касания  ( … - просто "соприкосновение" ( 32. с. 92 ). В самом деле, в самом  чувстве осязания, точку выделить невозможно, а выделяется сам факт осязания, в каком-то материальном объёме, на  границе тактильного осязания. Если мы трогаем, прикасаемся к чему - либо, и если у нас есть память предшествующих ощущений, то мы "узнаём"  через идентификацию, то с чем встречаемся, - при "узнавании" проис­ходит  «удвоение притрагивания», -  того  с чем встречаемся, с тем, что мы помним. Сама интерпретация этого факта встречается в "воспоми­нании" у Платона, далее идёт уже абстрагирование первоначальных форм "прикосновения", "осязания"  в отрыве от реальных исторических  корней  происхождений терминов.

Этот гилозоистский налёт сохранился и в последующих рабо­тах  в истории математики:

Непротяжённая точка парадоксальным образом сопрягается с касанием:  она могла "соприкасаться" и могла и не соприкасаться. Примером несоприкасающийся точки может служить мироощущение Р. Бошковича, - точки являются физическими границами размеров, тел,  расстояний, будучи однородными "первыми элементами материи",   «Та­кие точки, по причине их непротяжённости  не могут соприкасаться, а тем самым не имеют  и взаимодействия" ( 38. с. 73 ). Другая "парадоксальная" точка зрения сыграла большую роль в естествознании и матема­тики:

- Ф. Бэкон: обосновывая вечность материи через пространствен­ную непрерывность, пишет - "Благодаря этому движению тела не до­пускают разобщения в какой-либо части при соприкосновении с другим телом, сохраняя взаимную связанность и соприкосновение" ( 39. c. I79 );

- М. В. Ломоносов: "прикосновение удаляющихся частичек может быть прерывным и непрерывным" ( 40. с. 279 );

- И. Кант: "Соседние части непрерывной материи соприкасаются

друг с другом ( растягивается она или сжимается)»  ( 41. с. 123 );

Понятие "касания" является методологическим приёмом для формирования основных геометрических понятий у Н. И. Лобачевского. " между свойствами, общими всем телам, одно должно называться Гео­метрическим - прикосновение" ( 37. с. 28 ),  "Тело получает название точки, когда рассматривают его прикосновение к другому в точке" ( 37. с. 30 ), "точка не имеет величины, будучи без протяжения, а пото­му и не допуская измерений" ( 37. с. 31 ), "Тело получает название поверхности, когда оно касается другого поверхностью и когда при­нимаются в рассуждение только взаимное прикосновение двух тел" ( 37. с. 30 ), Термины у Н.И.Лобачевского  те же, что и у Евклида, а на связь непротяжённости и касания внимание не обращается.

В. "Твёрдое", "осязаемое" тело:

Гилозоизм античного мировосприятия подразумевает живые, скульп­турные, осязаемые твёрдые тела, которые являются исходными в математической абстракции. Осознание исторических исходных посы­лок геометрии. как основанных на понятии твердого тела, произошло в XIX веке:

А. Пуанкаре утверждал, что  "Гельмгольц показал впервые, что пред­ложения евклидовой геометрии не что иное, как законы движения твёрдых тел" ( 37. с. 452 ), Ф. Клейн подчёркивает, что  "геометрии Евклида, Лобачевского и Римана предполагают одинаково свободную   подвижность тел внутри этой части пространства" ( 37 с. 441 ). А. Пуан­каре определяя основание геометрии, ставит вопрос, что определило наш выбор? и отвечает:  "Это, во - первых, простота выбранной группы, но есть и другое основание: в природе существуют замечательные тела, называемые твёрдыми, и опыт говорит нам, что связь различных возможных перемещений этих тел, выражается со значительной степенью приближения, теми же самыми соотношениями, как и различные операции выбранной грутшы» (37. с. 398 )

 

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей