Закрыть

Заключение

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 08.09.2010 в 20:59
Раздел: Статья 1. История точки. Пустая ли точка ?
Теги:

Подведём итог:

  п.1 Генезис точки характеризуется выделением её признаков: "непротяжённости";

"соприкосновение", "касание";

"твёрдое'^"осязаемое" тело.

 Вот основные стереотипы, которые заро­дившись в Античности ( не ранее 1У века до н.э.), получили свое воплощение в "Началах" Евклида и   были основаниями до XIX века.  А во многих разделах математики до сегодняшнего дня. Это характерно для евклидовой и неевклидовой геометрии, Лобачевского, Римана, проективной геометрии, теории групп и т. п.

А в основании механицизм и метафизика, поэтому и трудности с тем, -  как увязать математику с процессами отражения в объективной реальности; поэтому и формируются различные парадоксы, отражая кризисный, аксиоматически разорванный на каждом этапе  исторический путь матема­тики .

п.2.  Парадоксальность отражения объёмного пространства геометрией:

Эта парадоксальность заключается, по моему мнению, в том, что основания геометрии, предполагающее указанное представление точки и сопутствующих понятий, -  представляет собой "плоскостное" отобра­жение объёмного пространства. Строго говоря, имея своим основанием "поверхность" твёрдого тела. Это «плоскостное» мышление, мировосприя­тие сохраняется даже при описании объёма, Отсюда и трудности интерпретации отражения математикой объективной реальности.

Первая форма  «плоскостной» геометрии, это геометрия Эвклида. Сош­лёмся на авторитеты: Г. Вейль, в комментарии к мемуару Римана отме­чал: " У Евклида пространство априори  берётся гораздо более  специального типа, чем всевозможные содержащие в нём поверхности,  именно оно считается, если можно так выразиться, "плоским", тогда как понятию риманово многообразия свойственна как раз та степень общности, которая нужна, чтобы уничтожить отмеченное соответствие" ( 37. с. ЗЗЗ ).  После "Начал"  "поверхность" стала являться фундаментальным понятием для различения форм геометрии.

А. Пуанкаре, перечисляя основные гипотезы геометрии, указывал, что нам известны три геометрии двух измерений:

1. Евклидова геометрия, в которой сумма углов треугольника равна двум прямым;

2. Геометрия Римана, в которой эта сумма более двух прямых;

3. Геометрия Лобачевского, в которой эта сумма менее двух прямых. При этом, основания геометрии, замечает Пуанкаре, покоятся на наблюдении над некоторыми физическими процессами, в частности, над  "замечательными" телами, называемыми  "твёрдыми" ( 37. с. 398 ).    Н. Лобачевский отмечает, что  "Геометрия на предельной сфере та же что и на плоскости" ( 37. с. 37).  Артур Кэли подчёркивает, что в "геометрию двух измерений включена, в частности, сферическая геометрия;   слова - плоскость, прямая и точка означают в этом случае сферичес­кую поверхность, дугу большого круга и точку, т. е.  пару противопо­ложных точек сферической поверхности" ( 37. с. 223 ).  Ф. Клейн в работе "Новое наглядное  изложение математических результатов работ, относящихся к теории параллельных", писал, "Путь к этому ведёт через проективную геометрию. Действительно, можно вслед за Келли, построить в пространстве проективное мероопределение, ис­пользующее произвольную поверхность второго порядка в качестве так называемой фундаментальной поверхностью" ( 59. с. 253 ). В основе проективной геометрии лежит "фундаментальная поверхность" ( 37. с. ЗОЗ ).   Г. Вейль подчёркивает, что "гаусова кривизна зависит только от геометрии на поверхности, а  не от расположения поверхности в пространстве" ( 37. с. 334 ), и т. п.

Причём,  А. Кэлли выдвигая понятие проективной геометрии утверждал, что "метрическая геометрия является, т. о. частью проективной гео­метрии, и проективная геометрия представляет собой всю  геометрию.  Ф. Клейн исходя из фундаментального поня­тия "поверхность" в § 18    ( в работе "О так называемой неевклидовой геометрии" ) формулирует "Вывод трёх геометрий ( эллиптической, ги­перболической и параболической ) из проективной" ( 37. с. 302 ),

"Поверхностное", "плоскостное"  мироощущение в математике породи­ло множество кризисов и парадоксов, многие из которых не решены до сих пор. Один из них заключен в так называемой "аксиоме  о па­раллельных", что мы затронем в связи историческими формами пере­хода от объёмного к «плоскостному», затем к  "поверхностному" мироощущению в математике, и становлению предпосылок объёмного истолкования..

п.3. Исторические этапы перехода от гилозоистского объёмного-мироощущения к плоскостному, затем к поверхностному и формирование предпосылок объёмного мироощущения.

Ранее было  подчеркнуто, что содержание числа в ранней Античности понималось в гилозиостской форме, как объём,  пространственно - сферический,  чувственно - воспринимающийся;  т. е. формировалось содержание числа,  которое мы интерпретируем как меру отражения, развития, отри­цания. Это содержание числа ещё не расчленено на его абстрактные моменты, - точку, линию, плоскость, объём, ... - всё это существовало в нерасчленённой форме.

Факт неразличимости объёма и плоскости мы видим прежде всего в используемой терминологии в древнекитайской и древнегреческой математиках:

Во-первых, материальный объём всегда имел определённые ха­рактеристики.  В древнекитайской математике:   "По - видимому, первичным  понятием, связанным с  реально существующими вещами, была ёмкость, а понятия объёма и даже площади были вторичными, производными от первого" ( 30. с. 250);  в древнегреческой математике -  в "Началах" употребляется в смысле тело" (32. с. 149 ), ...

Во-вторых, эта первичная установка на материальный  гилозоистски воспринимаемый объём предопределило неразличимость на ран­нем этапе плоскости и объёма, тела. Так, в "Математики в девяти книгах" термин "цзы" употреблялся как для объёмов, так и для площадей   ( 30. с. 265 ), 0дни и те же термины употреблялись для пло­щади и объёма  (30. с. 250 ).  Поэтому и единица в начале была модулем для измерения   ( с нашей точки зрения ) любого пространства, т. е.  одно и то же - линейная, двумерная, трёхмерная. ( 30. Гл. 5 ).

В-третьих, эта первичная установка предопределила и телесный характер чисел, В древнекитайской математике:  "...обозначая линейными единицами  площадь и объём, подразумевали двумерные или трёхмерные единицы. Однако они представляют собой не квадраты и кубы, а полоски и бруски, характеризующиеся некоторой длиной и единичной стороной или площадью, на которой они построены    ( 30. с. 25I ).  B древнегреческой математике различали величины: линей­ные, плоские, и телесные    (IBM. 32. с. 453; 33. с. 268 - 269/.

В-четвёртых, телесный, материальный, характер объёма не позво­лил древним грекам различать  размерность пространства. "В античное время нашего понятия о пространстве не существовало. Едва  ли можно счесть правильным перевод   хххх    Аристоте­ля словом измерение. Ведь для нас измерение …  прежде всего  число, но античной мысли совсем чужда арифметизация, т. е.  выраже­ние всех геометрических величин числами. По этому слово измерение здесь лучше заменять протяжением. Понятие трёхмерного пространства становится употребительным с установлением понятия о координатах, т.е. очень поздно, пожалуй, со времён даже не Декарта, а Канта и Эйлера, когда рядом с ним встаёт и четырёхмерное - не воображаемое, а только мыслимое - пространство. К тому же следует отметить, что и не все античные авторы видят только три телесных протяжения.   Тот же Аристотель в "Физике" даёт уже вместо четырёх  6  протяжений  соответствующих  направлениям: спереди, сзади, сверху, снизу, справа и слева." ( 41. с. 1б3 ).

I этап.  "Плоскостное"  мировосприятие;

Телесное, гилозоистическое восприятие объёма предполагает плос­кость как первую абстракцию, над которой могут  быть произведены человеческие действия ( математические операции ).  "Наше слово" гео­метрия" происходит от греческих слов  "гео" - "землями  "метрео" -  "из­меряю" и обозначает "землемерие". В древнекитайских источниках ана­логом этого термина является выражение фан тянь— "измерение полей".  Так именуется книга  классической "Математики в девяти книгах", посвящённая нахождению площадей различных геометрических фигур. Ки­тайский иеороглиф тянь изображает поле, разделённое оросительными каналами, а в математических текстах обозначает плоскую фигуру и её площадь" ( 30. с. 240 ). О плоскостном восприятии говорят не только первые математические тексты,  но и тот ареал культуры, в котором вращались основные стереотипы Античности; Любопытно, что среди  "искусствоведов существует теория ( эмбидж ),  что пропорции греческих зданий, а также и художественных произведений были основаны на це­лочисленной пропорциональности не линий, но именно площадей."  ( 33. с. 374 ).

"Плоскостное" миропонимание проявилось, прежде всего в аксиома­тике "Начал" Евклида, в частности, в знаменитых  пяти постулатах:

1. 0т всякой точки до всякой точки  ( можно) провести прямую ( линию);

2. Ограниченную прямую ( можно ) непрерывно продолжать по прямой;

З. Из всякого центра всяким раствором  ( может быть ) описан круг;

4. Все прямые углы равны ( между собой );

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односто­ронние углы, меньшие двух прямых, то продолжение неограниченно эти две прямые встретяться с той стороны,  где углы меньше двух прямых"  ( 32. с. I4 - I5 ),

Первые три постулата описывают простейшие построения, которые можно  осуществить циркулем и линейкой, 4-й постулат обес­печивает единственность продолжения прямой, т. е. в четырёх постула­тах мы обнаруживаем "плоскостное" мышление. По- видимому, пятый постулат, есть выражение элементарной клеточки отражения на плос­кости.  Современную форму пятый постулат принял у Прокла, постулат о параллельных  -  через точку, лежалую вне прямой, в плоскости, опреде­лённой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую заданной.  В данном виде он и вошел в учебники.

Стройк отметил, что 5-й постулат Евклида эквивалентен аксиоме о параллельных ( 26. с. 68 ), хотя есть и другие эквивалентные формулиров­ки. Стремление к замене данного постулата более простым и нагляд­ным привело к формулировке постулата "подобия" у Дж. Валлиса в его работе: "О пятом постулате и пятом определении У1 книги Евклида" ( 1693г.)  "Наконец, я приму писал Валлис ( считая уже известными учение об отношении и понятие о подобных фигурах ), - следующее по­ложение: для каждой фигуры всегда существует другая подобная ей фигура произвольной величины"  ( 42. с. 45 ). Это подобие Валлис дока­зывал на плоскости через передвижение углов в треугольнике.

В первой аксиоматике геометрии была схвачена в элементарно-абстрактной форме - первая элементарная клеточка процесса отражения - удвоение пространственных характеристик отображаемого объекта  ( см.  Феномен Зеркала в истории культуры ).    

Но осознание данного элементарного акта отражение шло сквозь призму мифолого-религиозного, метафизического мировосприятия   ( понятия  "точки" - непротяжённость, твёрдое тело, касание ), поэтому процесс отражения был сведён  ( упрощен ) до удвоения плоскостных характеристик отображаемого предмета. Это первая форма зеркаль­ного мышления, когда происходит отражение предмета со стороны плоской формы в Зеркале, эту суть и выражает постулат подобия у Валлиса. Если же осознать мировоззренческие,  культурно - истори­ческие предпосылки этого удвоения "плоской формы", то мы автома­тически приходим к аксиоме о параллельных. 

2 этап. "Поверхностное" мировосприятие:

Переход ко второму этапу содержится в переходе от прямой к линии, от плоскости к поверхности. Неявно он содержится ещё в Ан­тичности. Когда Клейн ставил вопрос: "Что такое произвольная кривая, произвольная поверхность?", и отвечал в традиционной мане­ре,  -  он прежде всего указывал на то, что предпосылки ответа стали формироваться ещё в Античности: "Евклид ставил слова "кривая" и "поверхность" во главе своей системы, раньше, чем переходит к оп­ределению прямой и плоскости" ( 37. с. 437 ).  Хотя этот переход и не мог сформироваться в Античности, ибо, как заметил Э. Бельтами, - ос­новной приём доказательства элементарной геометрии состоит в наложении равных фигур ( 37. с. 181 ).

Культурно - исторические предпосылки 2 этапа,  утвердили осознание важнос­ти рассмотрения поверхности и кривой, перед прямой и плоскостью, в конце Нового времени, начале Новейшего времени. Откуда это?

При рассмотрении исторического развития "молчания" я писал о  становление его богатой синонимичности, табуирование отдельных сторон культуры, когда большую роль стали играть метонимы, перифразы, метафоры, эвфемизмы, когда в литературе, для вскрытия "немого бытия" человека стали вводится специальные персонажи, когда под заслонами подменяющих слов, метафор, иноска­заний скрывались слова которые нельзя было произносить,  когда по словам Марка Блока, историю приходилось защищать от самих историков, ... и тогда становятся понятны слова Шекспира: "Если смотришь прямым путём, хаос лишь виден, при  взгляде вкривь, рисует­ся закон"….

Второй этап сформулирован в работах Лобачевского и Римана. Методологически, он сформулирован впервые у Н. Лобачевского: в из­менении пятого постулата Евклида:  "Сумма углов прямолинейного треугольника, независимо от измерений на самом деле, можно допус­тить менее половины окружности, и на таком предположении основать другую Геометрию, которую я назвал воображаемой" ( 37. с. 56 )

Зеркальные аналогии:  Обе геометрии и у Лобачевского и у Римана это геометрии на поверхности сферы. Если геометрия Евклида можно отобразить через отображение на плоском зеркале, то геометрии Лобачевского и Рима­на можно отобразить на зеркальной полусфере с проекцией на плоское зеркало, только у Лобачевского она будет выпуклой, а у Римана вогнутой.

Кстати при исследовании культурно-исторических предпосылок принципа отражения ( «Зеркала»),   было  подчёркнуто, что "воображение" сформиро­валось при функционировании зеркала в древнегреческой культуре. Зеркальная полусфера с её проекцией на  плоское зеркало, по - видимому, служило психологической установкой, к осознанию нелинейного "поверхностного" восприятия пространства. .(см. книги «Феномен зеркала в истории культуры» СПб 2006 г. 66 с. 100 экз.; «Правдивое зеркало» СПб 2007 г. 100 экз, в бибилиотеках интернета находится с 2000г. http://www.saintkseniya.orthodoxy.ru/ )

3 этап. Предпосылки "объёмного" миропонимания.

Переход к дальнейшей аксиоматизации геометрии развит в теории групп и проективной геометрии. Общим психологическим стереотипом является использование свойства зеркала - инвариант отображения объекта со стороны "формы", зеркальной поверхности.

Эту задачу формулировал Ф.Клейн, при обобщении геометрии с позиций теории групп в отзыве на сочинение Софуса Ли: "Задачей будет - выделить с помощью характерных признаков шестичленную группу движений этих трёх геометрий  ( речь идёт о геометриях Евк­лида, Лобачевского и Римана - B. C. ) из всех других непрерывных групп преобразований троекратного числового многообразия" ( 37. с. 441 ). Эти три геометрии различаются мерой кривизны, которая для каждой геометрии постоянна ( исходная предпосылка Римана ). Клейн пишет:   "они различаются только значением этой величины, которая в этих трёх случаях, собственно, ноль, отрицательна и положительна" ( 37. с. 441 ), т. е.  проекция плоского, выпуклого и вогнутого зеркала, в зеркальной  ин­терп ретации.

Аналогично формулирует задачу Ф. Клейн в  "Эрлангенской програм­ме". Основным понятием является  "группа пространственных измене­ний". В примечаниях Ф. Клейн проясняет те основания, которые были затем обобщены: "группу образует, например, конечный ряд движений, приводящих правильное тело в совмещение с самим собой..." ( 37. с. 401 ),  т. е.  двойное зеркальное отображение. Ф. Клейн формулирует задачу:

"Существует такие преобразования пространства, которые оставляют вообще без изменений геометрические свойства пространственных образов. Геометрические свойства, по самому определению, не зависят от положения, занимаемого в пространстве изучаемым образом, от его  абсолютной величины и, наконец, от ориентации в расположении его частей".  В примечании Ф. Клейн поясняет: "Под ориентацией …  я разумею здесь то свойство расположения, которое является источником различия между данной фигурой и ей симметричной ( её зеркальным изображением ) ",  далее он пишет: "Свойства пространственного образа не изменяются поэтому от всех движений пространства, от его преоб­разований подобия, от процесса зеркального отражения, и от всех преоб­разований, которые могут быть на ней составлены. Совокупность всех этих преобразований мы назовём главной группой изменений пространст­ва; геометрические свойства не изменяются от преобразований главной  группы ... ".   Затем Ф.Клейн обобщает такую постановку задачи: "Отбро­сим теперь математически несущественный чувственный образ и будем видеть  в пространстве только многообразие нескольких измерений, т. е. если придерживаться обычного представления точки как элемента пространства, - трояко - протяжённое. По аналогии с пространственными преобразованиями мы говорим о преобразованиях многообразия; они также образуют группы. Только уже нет более, как в пространстве, груп­пы, которая выделялась бы по своему значению между остальными, - каж­дая группа равнозначна всякой другой. Как обобщение геометрии получается, таким образом, следующая многообещающая задача:

Дано многообразие и в нём группа преобразований: нужно исследовать  те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются от преобразования группы", или в другой формулировке: "Требуется развить теорию инвариантов этой группы" ( 37. с. 401 – 402 ).

Мировоззренческие стереотипы здесь: а).  используются свойства зеркала,  б). традиционное понимание точки ( с позиций: непротяжённости, ...)  поэтому она существует в "пространстве".

Понимание точки в теории групп двоякое;  здесь есть кроме традиционного, и обобщение точки, как некого "вместилища", абстрактного объёма, в неявной форме:

"За элементы прямой линии, плоскости, пространства, вообще некоторого исследуемого многообразия: группу точек, какую - нибуть кривую, поверх­ность и т. д. ... суть - в группе преобразований; число измерений, при­писываемых нами многообразию, представляется второстепенным" ( 37. с. 409 )

Т. о.  постепенно, в истории математики, мы обнаруживаем переход в историческом развитии "точки" от  "непротяжённости"  к  "протяжённой" точке, правда, пока в неявной форме.

Это связано с любопытной функцией точки, функции замещения, заме­щения точкой - не только "прямой", "поверхности", ... но и тела в целом,  а в абстрактной форме замещения места тела. И здесь точка начинает исполнять функции определённости, ограничивающей пустоту, ибо ещё  у Н. Лобачевского "Пустота, занимаемая телом внутри пространства, назы­вается местом"( 37. с. 29 ), т. е. в содержании точки постепенно входит материальное пространство.

Эта общая тенденция изменения мировосприятия проявилась в изме­нении содержания пространства. От качественно однородного в геомет­риях  Евклида, Лобачевского, Римана, Клейна, ... до качественно неодно­родного,  предпосылки которого формируются в последующих интерпретациях геометрии, хотя окончательно вывод, так и не был сделан.

Так, Э. Картан замечает, что  "Все так называемые пространства Клейна являются однородными в том смысле, что их свойства инвариант­ны относительно преобразований соответствующей фундаментальной группы: эта группа служит, в некотором смысле, мерой однородности пространства. Пространство вполне однородное - это такое пространст­во, фундаментальная группа которого является бесконечной группой всех непрерывных преобразований: это топологическое пространство; геометрические свойства фигур здесь сравнительно мало разнообразны; они становятся узко более примечательными, если за фундаментальную группу принять бесконечную группу всех непрерывную дифференцируе­мых преобразований. В пространстве, не обладающем однородностью,  т. е.  фундаментальная группа которого приводится к тождественному преобразованию, невозможно в смысле Эрлангенской программы построе­ние общих положений;  вся геометрия сводилась бы к частным фактам без связи одних с другими" ( 37. с. 487 ).

3 этап. Тупик абстрактности:

Геометрия пошла по пути, который был намечен Гильбертом, по пути дальнейшего абстрагирования тех понятих, которые мы разбирали.

А. Пуанкаре  в отзыве о работах Д. Гильберта, перечисляет пять групп аксиом:

1. Аксиомы "проективные",

2. Аксиомы порядка,

3. Метрические аксиомы,

4. Аксиомы Евклида,

5. Аксиомы Архимеда  ( 37. с. 455 ).

А. Пуанкаре подчёркивает, что в определениях много надуманного, лишнего, например,  во взаимосвязи точки, прямой и плоскости: "Выражения лежать на, проходить через,  не должны вызывать в нашем сознании какие-либо образы; эти выражения суть только синонимы слова  определять "  ( 37. с. 455 ).  А. Пуанкаре делает убийственный вывод:  "Таким образом, Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видели ни точки, ни прямой, ни плоскости" ( 37. с. 455 ). Ранее А. Пуанкаре замечает: "слова точка, прямая, плоскость не должны возбуждать в уме никакого чувственного представления. Они могли бы безразлично обозначать предметы какой угодно природы, если только можно установить между этими предметами такое соответствие, при котором всякой системе двух предметов, называемых точками, соответствовал один из предметов, называемых прямыми, и только один"  ( 37. с. 455 – 456 ). Далее он  продолжает: "Рассуждения должны, по его мнению, приводится к чисто механическим правилам, и для того, чтобы строить геометрию, достаточ­но рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они собст­венно выражают. Таким образом, можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней но понимая, потому что будет понятно логи­ческое сцепление предложений, но  по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, например,  в логическое пианино Стенли Джевонса, и из неё вышла бы вся геомет­рия. Эта забота может казаться искусственной и тщетной, и бесполезно указывать, насколько бы это было гибельно в преподавании и вредно развитию ума, насколько оно быстро убивало бы всякую оригинальность. Но у Гильберта она объясняется и оправдывается, если мы  припомним, какая цель преследуется. Полон ли список аксиом или мы пропустили некоторые из них, которые мы, однако, бессознательно при­лагаем?  Вот, что нам нужно знать. Для этого у нас есть критерий, а такой критерий у нас только один. Нужно узнать есть ли геометрия логическое следствие явно выраженных аксиом, т. е.  могут ли эти ак­сиомы, вставленные в логическую машину, заставить выйти из неё весь ряд предложений?" ( 37. с. 455 – 456 ).  В принципе, А. Пуанкаре стоит на точке зрения  Гильберта.  Эта точка зрения стоит на пути  постулирования  некоей совокупности априорных аксиом, из которых можно вывес­ти всю геометрию. Причём любопытно, над основаниями аксиоматики даже не задумываются!

4 этап. Парадоксальность точки.

Парадоксальность содержания точки выявляется в том факте, что предшествовавшее содержание начинает исчезать, его стали неявно игнорировать, а новое ещё не определилось. Поэтому в справочной литературе и отмечено, что  "Природа точки может быть самой различной"  ( 43. с. 271 ).

Парадоксальность точки выявляется в потере гилозоистского, "античного" содержания точки   ( непротяжённости; твёрдого, осязаемого тела; касания ), в приобретении такого абстрактного её содержания,  которое можно назвать "мистическим".

Если первый этап понимания точки, осознания её содержания можно назвать как мифологическим, проходящим сквозь призму мифоло­гического мировосприятия, то,  последующий этап, то определение точки которое функционирует в математических работах около двух веков, можно назвать религиозным. В самом деле, содержание точки не опре­деляется. Точка приобретает свою определённость через свой преди­кат, т. е.  конкретное функционирование точки в математических обра­зованиях.

 Вернее с помощью точки, определив её содержание через конкретный предикат, свойство, осуществляется переход от одного математического понятия к другому, происходит образование математи­ческих понятий.

Этот процесс приобретения принципиально нового множественного  содержания точки напоминает процесс абсолютизации перехода категорий от одной к другой в фило­софской системе Гегеля. Выразив сознание как Мировое  (Абсолютная идея ), а в логике, - это категория  "единства»,  Гегель осуществил все переходы в "Науке логике" как моменты   ( предикаты )  единства.  Т. е.  любые категории будучи сторонами (предикатами) определённого  "единства"  ( их у Гегеля более 60 разновидностей ), "оказываются"  в следующей. Таких переходов  из одной категории  в другую  в «Науке логике» более полутысячи. Процесс перехода категорий, образования понятий мистифицирован. Похожее самоопределение понятий  точки было и в истории математики.

Перечислим "свойства" точки, её предикаты, через которые она определяется в современной математической литературе, чтобы потом показать на примерах, как происходит образование "новых" математических понятий; точка определяется в следующих значе­ниях  ( значения точки выписаны путём случайной выборки из учеб­ников математического факультета )

ТОЧКА:

- алгебраическая,    выборная, аналитическая,  высшего пространства,  апогей,   гармоничная, асимптотическая,  гармонически - сопряжённая,   афелий,   гиперболическая,  базисная,   гомологическая,  бесконечно близкая , горловая,  бесконечно удалённая,  границы, простая,  бесконечно удалённая  ( несобственная ) , граничная, Брианшона,   движущая,   вершины,  двойная,  ветвления,   двойная пересечения, вещественная,   действительная,  взаимосопряжения,  деления,  вихревая,  дискретная ,  внешняя , диагональная,  внутренняя,   диаметрально – противоположна  возврата,  допускающая построение,  встречи ,  достижимая, движущая,  вычислимая,   декартова произведения, единичная,  замечательная, Лапласа, звезда,  Лебега, идеальная, линейно достижимая, идеальная  ( или бесконечно удалённая ) , Лобачевского, излома,   изолированная,  инвариантная,  индекс,   исчезновения,  кампланарная,  касания,  коллинеарная,  комплексная,    конгруэнтная, ( к. система т. ),  конденсации,  конечная, конечная пересечения,    коническая , контрольная,  континиуума,  концевая,   корень, кратная,  кривой  конечнакривой  конечная кратная,  кривой  конечная начальная,  критическая,  критического течения, логарифмическая,  масштабная,  минимакса,  многообразие общая ,  множества,  множества внутренняя, мнимая,  мнимая бесконечно удалённая,  мнимые плоскости,  накопления,   находящиеся в инверсии ( сопря­жённые относительно окружности ),  начала отсчёта,  неколлинеарные,   начала координат , начальная,  недоступная,  недифференцируемости,  некомпланарная,  неколлинеарная, некоторая,  некритическая,   неособенная,  неопределённости, неподвижная, неподвижного преобразования, "неравномерности,   нерегулярности, несобственная,  неустойчивая,  ноль,  нулевая,    образ,образующая, общая, общего положения,  обыкновенная,  окрестность,  округления, омбическая,  особая, особая  ( изолированная, однозначного соответствия ), особая аналитическая функции,  особенная,  параболическая ,  перегиба,   перегиба условие, перелома,  пересечения,  перигелий   перигей, планарная,  плоскости,  пограничная,  плотности, подобия,  полюс, полярно - сопряжённые,  последовательности,    полного накопления,  правильная, предельная, прекращения,  прикосновения,  приложения,  проективная,  проектируемой плоскости,  произвольная,  простая,  простейшая двойная, пространства,  пространства афинного,  пространства топологического,  поточечно,  разрозненные,  разрешения,  разрыва,  разрыва ( первого, второго рода ),  м   -   ( с конечным односторонним пределом ),  разрыва функции, разрыва функции бесконечного,  разбиения,  разветвления алгебраическая,  разветвления бесконечного порядка,  разветвления логарифмическая,   разветвления римановой поверхности,  разветвления трансцендентальная,  существенно особая,  разветвления элемента, схода, рациональная,  сходимости,  регулярная,  сферическая, редуцированная окрестность,  сопряжения, или двойные проективно­го соответствия,  решетка  текущая ( с текущими координатами ) , рубежа сечения,  топологического пространства,   самокасания,  Торичелли  ( первый изогональный центр треугольника ),   самопересечения,  точечно-разрывные функции,   самоприкосновения,   точечное множество,  самосопряжённая,    точечнообразно, как связка прямых и плосностей,  трансцендентальная,   сгущения,  троично рациональная,  седло, седловая,     тройная пересечения, середина, угловая,  сетевая, узел интерполяции, сетки,  узловая, скачка, управляемости симметричная,  условная, симметричные относительно окружности, условного экстремума,  сингулярная,   устойчивая, случайная,  устранимая, особая,  соответствующая,   фокальная,   сопряжение,   характеристическая, сопряжённая,   центр,  ( центральная), состояния,  целочисленная, спектральная,  циклическая,  стационарная, центробразующая, стягивания, эквивалентная, сумма т.   экстремума,  экстремума функции, экстремальная, элемент, элемента особая,  элемента особая правильная, элемента особая, регулярная, элементарного события,  эллиптическая,

 Я выделил только 228 свойств,  типов точки, на самом деле их конечно больше. В самих математических работах точка не определяется. В справочной литературе точка выражается или через число, или через определённую организацию пространства: "Точка - элемент множества, наделённого некоторой структурой. Природа точки может быть самой раз­личной. Точка п-мерного евклидова пространства -  понимают упорядочен­ное множество   чисел.  Точка проективной плоскости -  понимают упоря­доченную тройку пропорциональных чисел,  которых хотя бы одно не равно нулю ( арифметическая модель точки )" ( 43. с. 271 ) и т. д.

Эта размытость содержания точки стала формироваться в ХУШ веке, и отчётливо проявила себя в XIX веке. Проявление потери предшествую­щего содержания можно обнаружить в том факте, что точка стала неявно вмещать любое пространственное образование:  Так, Плюккер впервые указал и осуществил возможность принимать в качестве элементов пространства вместо точек другие геометрические образы, например,  прямые, окружности и т. п. ввёл координаты плоскости в пространстве и обосновал принцип двойственности в пространстве, согласно которому точке соответствует плоскость  ( 44. с. 41 ).

  Этому про­цессу способствовала размытость используемой терминологии: "..твор­цы многомерной геометрии Грасман, П1лефди,   Риман пользовались своеоб­разной терминологией: вместо слова "пространство" говорили "протяже­ние" , "континиуум",  "тотальность",  или  "многоообразие",  вместо "точка",  "решение", или "состояиие"  ( 44. с. 95 ).   Говоря о двух способах   представления., Грассмана и Плюккера,  Ф. Клейн замечает, что,  Вместо того, чтобы говорить об индивидуумах многообразия, говорят о точках высшего пространства"  ( 44. с. 430 ).

С XIX века началось и  "дробление" содержания точки. Так, по Риману точка понималась кaк  cocтoяние  многообразия, соответствующего совокупности некоторых определённых числовых значений параметров  ( координат )... В зависимости от того, сущест­вует или не существует непрерывный переход от одного состояния к другому, мы имеем дело с непрерывным или с прерывным многообра­зием;  отдельные состояния называются в первом случае точками, во втором - элементами многообразия"  ( 43. с. 3IO - 3II ).

 Точки стали формироваться по той организации пространства которую они отоб­ражают.  Клейн определяет -  "точки поверхности называются гипер­болическими,  эллиптическими и параболическими, в зависимости от того, будут ли асимптотические касательные вещественными, мнимыми или совпадающими" ( 43. с. 257 );  "Разделение особых точек алгебраи­ческой функции на полюсы и критические точки проводится, напри­мер, в  "Теории элиптических функций"  Брио и Буке ( 1875г.).  Однако, термин "полюс" впервые был употреблён в этом смысле К. Нейманом в  "Лекциях о римановой теории абелевых интег­ралов"" ( 1865 )  в связи с тем, что бесконечно удалённая точка изобра­жалась в этом сочинении полюсом сферы. Термин "полюс" вошел в литературу прочно и  неизменно. Что касается термина "кри­тическая точка", то его чаще заменяет более общий термин, ранее введённый Риманом, "точка разветвления"  ( "Теория абелевых функций"  ( 1957 ) для уточнения добавляет ещё эпитет "алгебраическая",  в отличии от логарифмической или трансцендентальной точки разветвления"  ( 44. с. I8I ). Аналогично  и "мнимая точка".  Еще  в 19П г. Гаусс развил концепцию комплексного переменного, в виде точки, перемещающейся на плоскости  ( 44. с. 173 ).  и  т. д.

Парадоксальность точки  в том, что точка стала не только отправным пунктом исходных математических построений,  но и методом развёртывания математического материала, способом образование математических понятий.

 Проиллюстрируем это новое значение точки,   как качественной границы для образования новых математических понятий в XIX веке, на  "Шестом мемуаре о формах"  А. Кэли:  "Если на прямой задана инволюция и  какие - нибуть  две произ­вольные точки, то система точек, гармонически сопряжённая первой точке относительно паре точек инволюции, будет проективна системе точек, гармонически сопряжённых второй точке относительно тех же пар точек.  На этом свойстве  ( точек - С. В. ) основано введение по­нятия проективного соответствия двух инволюций, заданных на различ­ных прямых"  ( 37. с. 225 );  "В качестве определения ( нового математического образования - С. В. ) требуется, чтобы на одной прямой сис­тема точек, гармонически сопряжённых какой-либо точке относитель­но пар точек инволюции, была проективна аналогичной системе на  другой прямой" ( 37. с. 225 ), далее он определяет пару точек как "Аб­солют" т. е.  пару точек на прямой линии, рассматриваемой как  locus in qao         ( 37. с. 234 ).

 Продолжение следует...

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей