Закрыть

Заключение (продолжение)

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 08.09.2010 в 21:10
Раздел: Статья 1. История точки. Пустая ли точка ?
Теги:

Эта становящая размытость содержания точки, то что она неосоз­нанно принимает вид некоего вместилища ( пространственного ), поз­воляющего включать любые пространственные образования "комплексы"  и с другой стороны, изменения содержания точки  в  реальной  математической практике, когда она стала выступать способом образования новых математических образований, их качественной границей, - весь это процесс потребовал принципиально новой терминологии для оформления существующего положения дел. Эту новую терминологию мы видим в зарождении  нового направления, -  топологии.

Термин "топология" появился впервые у работах  И. В. Листинга в  1847 г. : "Под топологией будем понимать учение о модальных отноше­ниях пространственных образований  о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел, и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношения мер и вещей" ( 44. с. 98 ), где "модальность." - это свойство фигур сохраняющееся  при непрерывных преобразованиях. Основное математическое понятие в топологии -  "пространственный комплекс"  и является реакцией на качественно новое содержание точки.  "Под "пространственным комплек­сом" Ластинг  понимает "всякую конфигурацию точек, линий, и поверхнос­тей, в пространстве,  линии и поверхности могут быть по желанию пря­мыми и кривыми, открытыми и замкнутыми, ограниченными и неограниченными" ( 44. с. 99 ),  составляющими  "пространственных комплексов" Ластинг  считает не только точки, линии и поверхности, но и тела ( там же ).

Одним из парадоксом математического развития можно считать то, что новые качественные математические образования, в частности, новое качественное содержание точки в новом терминологическом обличье, не снимает предшествующее содержание точки  ( оно остаются в других разделах математики ) но скрадывает, "прячет" основания новых дисцип­лин в метафизическую непонятную глубину.    Отсюда, и понятен кризис теории доказательства в математике, её всецело формальная сторона.

Т. е.  простейшие мировоззренческие стереотипы, которые были затронуты ранее,  равнообъёмность и удвоение материальных объёмов,  явля­лись  ( неявно ) основными  в дальнейшем развитии математического зна­ния, что сказывается на  следующем этапе функционирования  точки,

Это видно на примере "Теории элементарного сродства" Мёбиуса.  Под "сродством" Мёбиус понимал взаимно однозначное и взаимно непрерывное геометрическое преобразование: "Две фигуры называются находящимися в элементарном сродстве, если всякий  бес­конечно малый элемент одной фигуры соответствует бесконечно мало­му элементу другой таким образом, что два граничащих друг с другом элемента первой фигуры соответствуют двум граничащим друг с дру­гом элементам второй"  ( 44. с. 1ОО ). Понятие "сродства" имеет в работах Мёбиуса самый различный вид: "равенства"  ( конгруэнтности ) «подобие",  "аффинности", "коллинеации" ( проективности ), и "элементарного срод­ства" ( гомеоморфизм ). Каждый вид "сродства" является случаем сле­дующего. ( б?. с. I05 ). Дальнейшее развитие топологии в работах Римана,  Бетти, Жордана, Клейна, и других исследователей шло на основе упомянутых стереоти­пов по лииии "дробления" уже не "точечных", а "топологических" ма­тематических понятий.

Отметим только, что  «исходным математическим стереотипом, явля­лось остановка на равнообъёмность и удвоение объёмов, причём эле­ментарным материальным объёмом везде была - сфера, как элементар­ная единица пространства, как "точка" пространства. .

Это основание лежит и в проективной и конформной геометрии, и зарождающейся топологии.

Отметим одну любопытную особенность. Мы рассматривали элемен­тарный акт самоотражения ( самоотрицания, саморазвития ) как отобра­жение ( удвоение ) материального объёма в своей границе. С точки зрения "плоскостного"  мировосприятия - аналогом может служить "лист Мёбиуса", и с точки зрения  "поверхностного" мировосприятия, аналогом  «абстрактного"  самоотражения может служить "бутылка" Клейна, как трехмерный самозамкнутый объем.  Так Клейн ставит задачу: "ещё более важно определить  элемент, инвариантный не только при конформных преобразованиях, но равным образом при взаимнооднозначных преобразованиях", имея в виду преобразования "определяемые непрерывными  функциями». В связи  с этим Клейн вводит понятие "нормальной поверхности" -  эталона, которому гомеоморфны все поверхности с различными знаками р :  "Сфера и тор будут служить нормальными поверхностями для  р= 0  и  р= I. Для больших значений р  ,  в качестве нормальных поверхностей можно рассматривать сферу, снабженную  р  ручками" ( 44. с. I04 ).  Хотя с точки зрения процессов отражения эти  "самозамкнутые" поверхности будут эквивалентны удвоению ( отображению )  сферического материального  объёма в своей поверхности,  в своей границе. Аналогичное доказательство было проведено по отношению к конформной геометрии Лиувиллем,  который доказал, что конформные  "преобразования в пространстве порож­даются инверсиями относительно сфер» ( 44. с. 105 ).

Подведём краткий итог третьего параграфа:  "Историческое разви­тие понятия "точки" происходит  -  как  переход от "объёмного" к "плоскостному" и от него снова к  "объёмному" мироощущению сквозь призму мировоззрен­ческих предпосылок формулирования математических понятий.

п. I.  Генезис точки.                                            

I этап:  гилозоистское понимание числа как - материального определенного объема;       

2 этап:  Становление парадоксального числа - точки:  ( Эвклид  -  Лобачевский).

Характеристики  точки:

- непротяжённость  ( гилозоистский стереотип = определение вещи, яв­ления  в его границе, за которой неопределённость );

- соприкосновение   ( гилозоистский  стереотип= удвоение собственно­го касания ( ощущения ) в чем-либо;  касание  -  материально,  объёмно );

- твёрдое,  осязаемое тело  ( гилозоистский стереотип = самосознание на телесном, осязаемом уровне ).

п.   2. Парадоксальность отражения объёмного пространства геометрией, 

п.  3. Исторические этапы перехода от гилозоистского объёмного миро­ощущения к плоскостному, затем к поверхностному и формирование  предпосылок объёмного мировощущения.

Предистория; 

Число: а/, есть материальный, определённый объём, б/. в котором неразличим материальный объем и плоскость;  и   в/. который имеет телесный осязаемый характер ( чисел ).

1 этап;  "Плоскостное" мировосприятие.

Плоскость материальная - абстракция объёма, - корни общественное  производство  ( земледелие  ). Первая форма  "зеркального мышления"  у Эвклида,  Абстракция элементарной клеточки процесса отражения - удвое­ние пространственных характеристик на плоскости  (5 постулат - «о параллельных» ).

2 этап:  "Поверхностное"  мировосприятие.

Поверхность -   2  форма  "зеркаль­ного мышления"  у Лобачевского, Римана,... Абстракция  элементарной клеточки процесса отражения - удвоение пространственных характерис­тик на поверхности  ( 5 постулат ).

3 этап: Предпосылки объёмного мировосприятия.

Становление предпосылок перехода "непротяжённой" точки  "протя­жённой". Изменение функции точки, - как некоего  "вместилища",  абстракт­ного объёма.  Точка начинает исполнять функции определённости, огра­ничивающей пустоту, ( отрицательные ) предпосылки качественно неодно­родного  пространства.

3 этап: Тупик абстрактности.

Метафизичность оснований, априорность предпосылок в программе Гильберта, Пуанкаре, …

4  этап: Парадоксальность точки.

4. I. этап мифологическо - гилозоистский  ( непротяжённость, касание, осязае­мое тело ).

4. 2 этап. Религиозно - мистический. Содержание точки как  абстрактный объём, "вместилище ". Точка приобретает  ( в ХУШ-Х1Х веках ) новое качест­венное содержание.

а/. точка стала неявно и явно "вмещать" любое  пространственное образование;

б/. точки стали формироваться по той организации пространства, которую они представляют;

в/. вследствии этого, точка стала дробиться, формируются сотни точек отвечающие за качественно определённые пространственные образо­вания ( пример, более  228  "типов", "свойств" );

г/. вследствиия этого, точка стала способом образования математических понятий; точка стала качественной границей образования нового математического знания.

5 этап, изменившемуся качественному содержанию точки стала соответ­ствовать новая терминология  (  "элемент",  "состояние",  "пространст­венный комплекс" и  т. п. ), Стали формироваться новые математические объекты и направления - проективная и конформная геометрия, тополо­гия  и  т. п. 

Точка становится  объёмной, сохраняя, в неявность виде, многоуровневость, иерархичность,…

Дальнейшее развитие прикладных математических объектов я вижу в совмещении традиционных оснований математики с фрактальными образованиями.

Благодаря которым  получены ряд практических изобретений  в области смягчения электрической нагрузки в звуке, свете и тепле и выявлен и внедрен механизм фрактального преобразования в цифровой форме обычного звука в мягкий звук . Результаты опубликованы.

ЛИТЕРАТУРА 

1.  .Аристотель Метафизика. , Кн. I. Гл. 5. 985ь  25 - 986а, 15, Соч. в 4 –х тт. т.  М, 1975.

2. . Аристотель, 0 небе, В. 290ь. Соч. т. З, в 4 - х тт. М, 1981.

3.  .Гайденко П. П. Эволюция понятия науки, М, 1980 г.

4.   Гегель Соч. т. IX, М, 1982 г.

5.   Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики, М 1964 г.

6.   Богомолов С. А. Актуальная бесконечность ( Зенон Элвйский, Исаак Ньютон, Георг Кантор ) М, 1934.

7.   Математическая энциклопедия,т З, Коо - Од, М, 1982 г.

8.   Иванов В. Г. Математика и философия, в кн: Эвристическая роль мате­матики в физике и космологии, Л, 1975.

9.   Кармин А. С. Роль математики в современной науке, - в  кн: Диалектика и современное естествознание, М, 1970 г.

10. Бунге М. Интуиция и наука, М, 1967 г.

11. Штофф В. А. Введение в методологию научного познания,Л,1972г.

12. Такеути Г. Теория доказательства, М, 1978 г.

13. Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики, Теория доказательств, М, 1982 г.

14. Петров Ю. А. Философские объекты математики, М, 1973 г.

15. Заломов В. С. Методологическое значение марксистско - ленинской

философии для определения предмета математики, Автореферат канд.

дисс. Л, ЛГУ, 1979 г.

16. Колмогоров А.Н.Математика, - БСЭ, изд.2 тв, т. 26, М, 1954.

17. Поршнвв Б. Ф. Социальная психология и история, М, 1979 г.

18. Поршнев Б. Ф. О начале человеческой истории, М, 1974

19. Фролов Б. А. Числа в графике палеолита, Новосибирск, 1974

20. Панфилов В. 3. Философские проблемы языкознания, М, 1977

21.  Иванов Вяч. Bс.. Дуальная организация первобытных народов и проис­хождение дуалистических космогонии, - Советская археология, 1968 г. № 4 ; его же: Близнечный культ и двоичная символическая класси­фикация в Африке.-  Африканский этнографический сбор­ник, т.В. II, Л, 1978.

22. Золотарёв A. M.  Родовой строй и первобытная мифология,М. 1964 г.

23. Аверинцев С. С. Порядок космоса и порядок истории в мировоззрении раннего средневековья  ( Общие замечания), - в кн: Античность и Ви­зантия, М, 1975 г.

24. Сыркин А. Я. Некоторые проблемы изучения упанишад, М, 1971 г.

25. Ван дер Ванден   Пробуждающая наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М, 1959 г.

26.  Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики, М, 1969 г.

27. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики, М, 1974

28. История математики в 3-х тт. т. 1. ( С древнейших времён до начала Нового времени ), М, 1970 г.

29. Бвллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М, 1922 г.

30. Берёзкина Э. И. Математика древнего Китая, М, 1980г.

31. Симонов Р. А. Математическая мысль Древней Руси, М, 1977 г.

32. Начала Евклида, кн;  1-У1. Перевод с греческого и комментарий, Д. Д. Мордухай - Болтовского, М - Л, 1948 г

33. Начала Евклида, кн: УП - Х, пер. с греческ. и комментарий Д. Д. Морду-

хай - Болтовского, М - Л, 1949 г.

34. История математики, в 3-х тт. т. 3. ( Математика ХУ1П столетия ), М, 1972

35. Хрестоматия по истории математики, ( под ред. А. П. Юшкевича ),  М, 1977 г.

36. Кузанский Н. Соч. в 2-х тт. т. 1, М, 1979 г.

37. Основания геометрии ( сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей ), М, 1956 г.

38. Прерывное и непрерывное,  Киев, 1963 г.

39..Бэкон Ф. Новый органон, Соч. в - 2-х т. т. 2, М, 1978 г.

40. Ломоносов М. В. Избранные философские произведения, М, 1950 г..

41. Начала Евклида, кн: XI - ХУ, Перевод с греческого и комментарий, Д. Д.  Мордухай - Болтовского, М - Л, 1950.

42. Розенфельд  История геометрии….

43. Математика в понятиях,  определениях, и терминах, Часть 2., М.  1982 г.

44. Математика XIX века  ( геометрия, теория аналитических функций ), ( под. ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича ), М, 1981 г.

 

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей