Закрыть

Кирпич весит фунт и полкирпича, сколько весит кирпич

Автор: Хрящев Денис Александрович
Опубликовано 21.02.2011 в 00:45
Раздел: Анализ
Теги:

В книге В.И. Арнольда "Задачи для детей от 5 до 15 лет" есть очень простая, но невероятно интересная задача под номером 3. Звучит она так - кирпич весит фунт и полкирпича, сколько весит кирпич? Ребенок 5 лет скажет - кирпич весит 2 фунта, потому что другие полкирпича составляют один фунт. Ребенок 10 лет составит уравнение $x=1+\frac{x}{2}$, решая которое получит $x=2$, а человек чуть постарше увидит в этой задаче числовой ряд. Действительно, ведь если в уравнении $x=1+\frac{x}{2}$ в x подставить само уравнение, получается $x=1+\frac{1}{2}(1+\frac{x}{2})$, а если выполнить такую подстановку $n \to \infty$ раз, то мы получаем $x=1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}(...(1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}))...)$, что эквивалентно $x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$. Этот числовой ряд так знаменит, что о нем даже сложили математический анекдот - "Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый заказывает одну кружку пива, второй — половину кружки, третий — четверть. Бармен отвечает - вот дурачьё! ...и наливает две кружки." Сумма этого ряда равна 2.

 

Но самое интересное в этой детской задаче то, что в ней заложена идея нахождения сумм рядов вида $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{b^n}$, для которого $1<a<b$ (Такое условие обеспечивает сходимость числового ряда, поскольку по признаку Даламбера $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$). Обобщим уравнение $x=1+\frac{x}{2}$  в  $x=1+\frac{ax}{b}$, откуда $x = \frac{b}{b-a}$, но с другой стороны бесконечно подставляя всю правую часть уравнения вместо $x$, мы получим ряд $x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{b^n}$. Таким образом, сумма ряда $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{b^n} = \frac{b}{b-a}$.

 

Чтобы проверить правильность полученной формулы, запишем ряд в виде $1+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^3}{b^3}+...+\frac{a^n}{b^n}$, $n \to \infty$ и, преобразовав, найдем предел этой суммы. Приведем все дроби к знаменателю $b^n$. $\frac{b^n+ab^{n-1}+a^2b^{n-2}+...+a^{n-1}b+a^n}{b^n}$. Выражение в числителе, домноженное на $b-a$, равняется $b^{n+1}-a^{n+1}$. Т.е. сумма ряда равна $\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n(b-a)}= \frac{b}{b-a}-\frac{a^{n+1}}{b^n(b-a)}$. Предел этой суммы равен $\lim_{n \to +\infty}{\left(\frac{b}{b-a}-\frac{a^{n+1}}{b^n(b-a)}\right)}=\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b-a}, \lim_{n \to +\infty}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b}{b-a}$, поскольку $1<a<b$, $\frac{a^n}{b^n} \to 0$. Т.е. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{b^n} = \frac{b}{b-a}$.

 

Чтобы вычислить k-ю частичную сумму ряда, нужно в полученное ранее выражение $\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b^n(b-a)}$ подставить $k$ вместо $n$, $\sum_{n=0}^{k}\frac{a^n}{b^n}=\frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{b^k(b-a)}$. Сумма ряда без первых k элементов равна $\sum_{n=k}^{\infty}\frac{a^n}{b^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{b^n}-\sum_{n=0}^{k-1}\frac{a^n}{b^n}=\frac{b}{b-a}-\frac{b^{k}-a^{k}}{b^{k-1}(b-a)}=\frac{a^k}{b^{k-1}(b-a)}$.

 

Автор статьи Хрящев Денис Александрович.

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
  • 2017-07-09 14:11:58 Robertfoere » трейдинг

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 13:54:28 Robertfoere » forex

    Я получил бесплатно $100 для ...

  • 2017-07-09 07:21:33 Robertfoere » trader

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-09 07:03:20 Robertfoere » broker

    Я получил бесплатно $100 для обу...

  • 2017-07-06 14:45:03 Robertfoere » stock exchange

    Я получил бесплатно $100 для обу...

Aрхив статей