Краткое описание магических квадратов и того, как их строить.
Добавлена: 2008-03-22
Просмотров:310 | Рейтинг:0.02
Что такое магический квадрат?
Магический квадрат это - квадратная 
-таблица 
целых чисел от 1 до 
, удовлетворяющая следующим условиям:
(1),
где 
. Иногда, рассматриваются также более общие магические квадраты, в которых не требуется, чтобы 
.
Как построить магический квадрат?
Любое число 
, однозначно характеризуется парой вычетов 
по модулю 
(цифрами по основанию числа 
), т. е. точкой двумерного пространства 
над кольцом 
вычетов по модулю . Поскольку координаты (i,j) клеток квадрата также можно считать элементами пространства , отсюда следует, что любое распределение чисел от 1 до в квадратную -таблицу задается некоторым отображением
,
т. е. парой функций 
, 
от 
. Задача состоит в исследовании таких пар, дающих магический квадрат. В общем виде это сделано только при дополнительном предположении линейности функций 
и 
. Оказалось, в частности, что магические квадраты с линейными функциями и существуют только при нечетных .
Уже в средние века был известен ряд алгоритмов построения магических квадратов нечетного порядка . Каждый такой алгоритм характеризуется шестью вычетами 
и описывается следующими правилами:
- число 1 вписывается в клетку
;
- если число
вписано в клетку (i,j), то число 
вписывается в клетку (i+p, j+q), если эта клетка еще свободна от чисел, и в клетку 
, если клетка (i+p, j+q) занята.
Вычеты не могут быть произвольны, но должны удовлетворять определенным условиям, обеспечивающим не только выполнение условий (1), но и выполнимость алгоритма, т. е. пустоту клетки
, если занята клетка (i+p, j+q). Эти условия легко находятся, причем оказывается, что магический квадрат тогда и только тогда может быть построен алгоритмом такого вида, когда описывающие этот квадрат функции 
линейны.
Небольшое добавление.
Известно много других алгоритмов построения магических квадратов (приводящих к квадратам с нелинейными функциями 
), но никакой общей их теории нет. Неизвестно даже общее число магических квадратов порядка n (при 
для n=3 существует, с точностью до очевидных симметрии, только один магический квадрат, а для n=4 число магических квадратов равно 880).
