Закрыть

Решение нелинейных уравнений

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 08.02.2008 в 15:56
Раздел: Анализ

Общие сведения

 

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x) и требуется найти некоторые или все корни уравнения

$f(x)=0 $ (1)

Всякое число t из отрезка $[a,b]$, обращающее приведенное уравнение в тождество $f(t)≡0$, называется корнем уравнения, или его решением.

В большинстве случаев корни уравнения (1) можно найти лишь приближенно. При нахождении приближенных значений корней с заданной точностью e необходимо:

 

 

  1. вычислить значения корней с необходимой точностью.
  2. отделить корни, т.е. найти принадлежащие отрезку [a,b] отрезки, содержащие только один корень;

 

Отделение корней

Графический способ

Графический способ состоит в построении графика функции $y=f(x)$. Абсциссы точек пересечения кривой графика с осью OX и будут корнями уравнения (1). В некоторых случаях уравнение f(x)=0 удобно представить в виде $f_{1}(x)=f_{2}(x)$, а потом построить графики функций $y=f_{1}(x)$ и $y=f_{2}(x)$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями уравнения (1). Таким образом нельзя найти точное значение корней, однако можно указать отрезки, на которых они находятся.

 

Аналитический способ

При аналитическом способе отделения действительных корней необходимо учитывать следующее: если на концах отрезка [a,b] функция f(x) имеет разные знаки, т.е. $f(a)f(b) \leq 0$, то между значениями $x=a$ и $x=b$ имеется нечетное количество корней: если $f(a)f(b) \geq 0$, то на [a,b] имеется четное количество корней или их нет совсем. Если f(a)f(b)<0 и f'(x) не меняет знак на этом отрезке, уравнение (1) имеет единственный корень на [a,b].

 

Методы решения уравнений

 

Для вычисления отделенных корней с необходимой точностью применяются следующие методы: половинного деления, простых итераций, комбинированный метод хорд и касательных.

Метод половинного деления (метод биссекций)

Метод половинного деления (метод биссекций) - один из самых простых и легко реализуемых на ЭВМ. Предположим, что отделение корней произведено, и на отрезке $[a_{n-1},b_{n-1}]$⊂[a,b] содержится только один корень. Итерационный метод биссекций состоит в построении последовательности вложенных отрезков ${[a_{n-1},b_{n-1}]$ |$[a_{n},b_{n}]$⊂$[a_{n-1},b_{n-1}]$⊂[a,b]},  на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего.

Опишем один шаг итерации. Пусть на (n-1) - м шаге найден отрезок $[a_{n-1},b_{n-1}]$⊂$[a,b]$, такой, что $f(a_{n-1})$ $f(b_{n-1})$<0. Делим его пополам точкой $t= (b_{n-1}-a_{n-1})/2$ и вычисляем f(t). Если f(t)=0, то t - корень уравнения. Если f(t) не равно 0, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки. Таким образом, $a_{n}=a_{n-1},b_{n}=t$, если $f(a_{n-1})$ f(t)<0, или $a_{n}=t,b_{n}=b_{n-1}$, если $f(a_{n-1})f(t)$>0.

Если требуется найти корень с точностью ε, то деление пополам продолжаем до тех пор, пока длина отрезка $[a_{n},b_{n}]$ не станет меньше 2ε. Тогда координата середины отрезка есть значение корня с точностью ε.

Метод биссекций сходится для любых непрерывных функций f(x). Для достижения точности ε необходимо совершить N итераций, $N=log_{2}((a-b)/2)$. Это означает, что для получения каждых трех верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.

 

Комбинированный метод хорд и касательных

Комбинированный метод хорд и касательных. Один из наиболее используемых комбинированных методов уточнения корней - метод, состоящий в одновременном применении метода хорд и метода касательных. Его удобно применять, если на отрезке [α,β], содержащем только один корень, вторая производная f"(x) сохраняет знак. Постоянство знака f"(x) означает: что кривая либо выпуклая (f"(x)<0), либо вогнутая (f"(x)>0).

Пусть на отрезке [α,β] функция f(x) монотонно возрастает, а кривая y=f(x) вогнута (см. рисунок выше). В этом случае приближение к корню осуществляется с двух сторон - касательная пересекает ось OX со стороны выпуклости, а хорда - со стороны вогнутости графика функции y=f(x).

Абсциссы точек пересечения вычисляются по формулам:

$\alpha_{k+1}=\alpha_{k}-d\alpha_{k}$      (2)

$\beta_{k+1}=\beta_{k}-d\beta_{k}$      (3)

где $d\alpha_{k}=(\beta_{k}-\alpha_{k})f(\alpha_{k})/(f(\alpha_{k})-f(\alpha_{k})), d\alpha_{k}=f(\alpha_{k})/f'(\alpha_{k})$. Процесс вычисления заканчивается на m-м приближении, когда выполняется |$\alpha_{m}-\beta_{m}$|<ε. Отметим, что формулу (3) нужно применять на том конце отрезка [α,β], где знаки функции f(x) и f"(x) совпадают.

График
График

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Подразделы
Новые статьи
Aрхив статей