Интерполяционный полином в форме Ньютона
Вы здесь: > Каталог статей > Математика > Численные методы > Приближение функций > Интерполяционный полином в форме Ньютона
Рассказывается про интерполяционный полином в форме Ньютона.
Добавлена: 2008-02-29 Просмотров:377 | Рейтинг:0.01

Интерполяционный многочлен легко определяется если его построить в виде:

Pn(x) = С0 + С1(x - x0) + C2(x - x0) (x - x1) + ...+ Cn(x - x0)(x - x1) ... (x - xn-1)  (1)

Исходя из условия интерполяции  для коэффициентов Ci получим систему уравнений треугольного вида

f(x0) = С0

f(x1) = С0 + С1(x1 - x0 )

f(x2) = С0 + С1(x1 - x0 ) + C2(x2 - x0 )(x2 - x1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(xn ) = С0 + С1(xn - x0) + C2(xn - x0)(xn - x1) + ...+ Cn(xn - x0)(xn - x1) ... (xn- xn-1) 

Из этой системы легко находятся:

C_0 = f(x_0)

C_1 = {f(x_1)-f(x_0)}/{x_1 - x_0}

C_2= {{f(x_2)-f(x_0)}/{x_2 - x_0} -{f(x_1)-f(x_0)}/{x_1 - x_0}}/{x_2-x_0}

и так далее. 

Величины, стоящие в правой части приведённых выше равенств, получили название разделённых разностей, соответственно, нулевого, первого и второго порядков. Для них приняты обозначения f[xi], f[xi ,xi-1], f[xi ,xi-1 ,xi-2]   и т.д. С учётом этих обозначений выражение (1) можно переписать в виде :

Pn(x) = f[x0] + f[x1 ,x0](x - x0) + f[x2 ,x1 ,x0](x - x0)(x - x1) + ...
                                 + f[xn ,xn-1 ,...x0](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) (2)

Можно показать, что

f[x_k,x_{k-1},...,x_0]=sum{i=0}{k}{{f(x_i)}/{(x_i-x_0)(x_i-x_1)...(x_i-x_{i-1})(x_i - x_{i+1})...(x_i - x_k)}} (3)

Выражения (2) и (3) определяют интерполяционный полином в форме Ньютона. Вычисление полинома в Ньютоновской форме удобно при последовательном дополнении сетки (n+2)-м узлом и наращивании порядка интерполяционного полинома. При этом необходимо вычислить лишь одно дополнительное слагаемое
f[xn+1 ,xn,...x0](x - x0)(x - x1)...(x - xn) в выражении (2).

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100