Решение задачи методами интерполирования предполагает выполнение условия
при
(1)
Интерполяционный алгебраический полином имеет вид
(2)
Задача (1) имеет решение, если степень полинома n = m-1, где m - количество точек интервала [a,b], в которых задана функция f(x). Таким образом, многочлен n-ой степени может обеспечить совпадение с приближаемой функцией f(x) в ( n+1) точке конечного интервала. Однако, поведение разности P(x) - f(x) в точках и
при построении полинома не оговаривается. При определённых ограничениях, накладываемых на f(x), и разумном выборе координат узлов сетки xi величина
. Выполнением этого условия определяется свойство равномерной сходимости интерполяционного процесса.
Можно показать, что величина уклонения ,
зависит, в частности, от расположения узлов интерполяции xi на интервале [a,b]. Близкой к оптимальной, в смысле минимума функции
, при
, является, так называемая, чебышевская сетка. Координаты её узлов определяются выражением
( 3 )
Эта сетка обладает рядом замечательных свойств. Так, если функция f(x) обладает непрерывной первой производной, то интерполяционный процесс на чебышевской сетке всегда сходится. Эта сетка также позволяет:
- построить интерполяционный полином близкий к полиному наилучшего равномерного приближения и
- обеспечивает, в сравнении с равномерной сеткой, существенно более высокую устойчивость полинома к погрешностям задания исходных данных.
Однако, следует иметь в виду, что достоинства этой сетки не предопределяют
абсолютную целесообразность её использования. Это связано с тем, что:
- она может оказаться не всегда удобной для вычисления соответствующих значений функции f(x) и
- сходимость интерполяционного процесса может потребовать построения другой сетки.
В общем случае, для каждой функции существует своя система сеток, на которых интерполяционный процесс сходится.
Рассмотрим различные алгоритмы построения многочлена P(x). Важно помнить, что какой бы алгоритм не был использован и, следовательно, в какой бы форме не был представлен многочлен степени n, при фиксированной сетке решение задачи (1 ) будет единственным.