Метод наименьших квадратов
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Добавлена: 2008-05-20 Просмотров:380 | Рейтинг:0.01

????? ?? ???? ?????????? ?????????? ???????? ?????? x, ? ?? ?????? ?????????? ?????? y. ????????, ??? ???????? x ? y ??????? ?????????????? ????????????, ?? ????? ?????? – ??????????. ????????? ??????????? ?????????? ??? ?????????????? ??????????? y=varphi(x) ?? ??????? ??????. ????? ? ?????????? n ????????? ??????? ??? ????????????????? ????? (xi,yi). ????????, ??? ????? n ????? ????? ?????? ???????? ??????, ???????????? ?????????? ??????????? n-? ???????. ???? ????????? ???????? ????????????????. ?????? ??????? varphi(x) ?? ??????? psi(x) ???, ??? ?? ???????? ????????? ? ???????? ??????

varphi(x_i)=psi(x_i) , ~i=1,2, ... , n,

???????? ?????????????.
?????? ????? ??????? ???????? ?? ???????? ??????????????????, ??-???????  y_i<>varphi(x_i) ??-?? ????????? ?????? ????????? ? ??????? ?? ????????? ???????? ????? ? ????? ? ??????????. ??? ???

y_i=varphi(x_i)+delta_i

??? delta_i - ????????? ????????? ??????. ??????? ????????? ???????? ?????? ???, ????? ??? ? ?????????? ??????? ???????? ?? ????????? ??????. ??? ?????? ?????????? ???????????? (??????????????) ????????????????? ??????????? ? ????? ???????? ??????? ?????????? ?????????. ???????????? ?????? ???????? ????????????????.

?????? ????????????? ???????? ????????? ???????. ? ?????????? ????????????? ??????? ????????? ??????? ????? (xi,yi).  ?? ???????????? ???? ????? ????????????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ??????? ? ????????????? ?????? ???????. ????????, ???????? ??????? varphi(x)=a_0 + a_1 x, ???????????? varphi(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2  ? ?.?. ? ????? ?????? .varphi(x)=varphi(x , a_0 , ... , a_r ). ??????????? ????????? ??????? ???????????? ?? ?????????? ???????? ????? ????????? ????????? ??????, ?.?. ???????? ????????

delta = sum{i=1}{n}{~} {delta_i}^2=sum{i=1}{n}{} {{(y_i - varphi(x_i , a_0 , ... , a_r ))}_i}^2

???????? delta ?????????? ????? ????????? ????????. ??????????? ???????? ???????? ??????? ?????????? ?????????? ???????? ????????? ? ???? ??????? ??????????? ???????:

sum{i=1}{n}{} {(y_i - varphi(x , a_0 , ... , a_r ))}_i  {d varphi}/{d a_j} , j=1...r

????? ??????? ?????????, ??????? ??????????? ????????? [m]a_j[m] ? ??? ????? ????????? ?????????? ???????, ??????? ????????? ??????? (? ?????? ?????????? ????????? ?????????? ?? ???????? ????? ??? ?????????? ????????? ???????) ?????????????? (??????????) ??????? ???????.

??????????? ????????? ?? ???????? ??????????? varphi(x)=a_0 + a_1 x.
????????????? ???????, ??????? ????????? ??????? ?????????

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {sum{i=1}{n}{}(y_i - a_0 - a_1 x_i) =0} {sum{i=1}{n}{}(y_i - a_0 - a_1 x_i) x_i = 0} }}{}

?? ??????? ????????? ??????? a_0=M(Y)-a_1 M(X), ???

M(X)={1/n} sum{i=1}{n}{} x_i ~,~M(Y)={1/n} sum{i=1}{n}{} y_i

?????????? ????????? ??? a_0 ?? ?????? ?????????, ??????

a_i={K_{xy}}/{S^2},

???

K_{xy}={1/n} sum{i=1}{n}{} (x_i - M(X))(y_i - M(Y))S^2 = {1/n} sum{i=1}{n}{} (x_i - M(X))^2

????? ???????, ??????? ???????? ??????? ?????????? ????????? ????????????.

????? ???????? ???????? ????????????? ???????? ??????????? ???????????? ???????? ?????. ????? ????, ?????? ???????, ????????? ?? ???? ??????????, ????? ????????????? ????? ?????? ??????????.

??? ????? ?????????? ????????? ????? ?????????????? ???????? ??????????? y(x)=varphi (x, a_0 ,a_1), ? ?????????? ???????? ??? ??????????? ???????? ??? v=b_0 + b_1 u.

????? ???????? ?????? ???????? ????????????? ??? ????? ??????????? ? ??????????? ???????????? b_0 ? b_1 ??????????????? ? ???????????? a_0 ? a_1.

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