Прямоугольная область интегрирования
Пусть сначала область интегрирования есть прямоугольник:
R={a≤x≤A;b≤y≤B}
(рис.1), стороны которого параллельны осям координат.
Каждый из промежутков [a,A] и [b,B] разобьем пополам точками
x0=a ,x1=a+h,x2=a+2h,
и соответственно
y0=a ,y1=a+k,y2=y+2k
где
h=(A-a)/2
k=(B-b)/2
Всего, таким образом, получим девять точек (xi,yj), (i,j=0,1,2).
Имеем:
Отсюда, вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона, находим:
Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим:
или
Формулу (2) будем называть кубатурной формулой Симпсона.
Следовательно,
где σ0 - сумма значений подынтегральной функции в вершинах прямоугольника R, σ1- сумма значений в серединах сторон прямоугольника R, σ2=f(x1,y1) - значениe функции f(x,y) в центре прямоугольника R.
Если размеры прямоугольника R={a≤x≤A;b≤y≤B} велики, то для увеличения точности кубатурной формулы (2) область R разбивают на систему прямоугольников, к каждому из которых применяют кубаторную формулу Симпсона.
Положим, что стороны прямоугольника R мы разделили соответственно на n и m равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть nm прямоугольников.
Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы Mij кубатурной формулы.
Пусть
h=(A-a)/(2n)
k=(B-b)/(2m)
Тогда сеть будет иметь следующие координаты:
xi=a+ih, i=0,1,2,...,2n
yj=b+jk, j=0,1,2,...,2k
Для сокращения введем обозначение
f(xi,yj)=fij
Применяя формулу (2) к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь:
Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим:
где коэффициенты является соответствующими элементами матрицы
Криволинейная область интегрирования
Если область интегрирования σ-криволинейная, то строим прямоугольник R такой, что σ⊂R и стороны которого параллельны осям координат.
Рассмотрим вспомогательную функцию
В таком случае, очевидно, имеем:
Последний интеграл приближенно может быть вычислен по общей кубатурной формуле(3).