Если на событие A влияет исход некоторого события B (в зависимости от того, произошло ли событие В и с каким именно исходом, наступает или не наступает определенный исход А), речь идет об условной вероятности А при условии В. Например, вероятность дожития до определенного возраста, скажем, 90 лет, будет различной в зависимости от того, вычисляется она для 10-летнего ребенка или 80-летнего старика. В этом случае рассматривается условная вероятность Р(А|В) события А при условии, что событие В уже наступило, определяемая по формуле:
.
Если событие А: «Человек доживет до 60 лет» и событие В: «Человеку исполнилось 20 лет, то Р(А|В) — вероятность для 20-летнего дожить до 60 лет.
Независимые события. Из формулы условной вероятности можно вывести вероятность совместного появления двух событий:
Если событие В не влияет на исход А, то
и
.
В этом случае события А и В называются независимыми, то есть появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Если независимость событий не следует явно из предметных соображений, то она проверяется по формуле, то есть находят Р(А), Р(В) и их произведение сравнивают с Р(АВ).
Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий:
, где
.
Если события имеют одинаковую вероятность, то
.