Знаменитый писатель Льюис Кэрролл был большим любителем нелепостей и в математике, и в литературе. В последние 10 лет жизни Кэрролла привлекали абсурдные математические выводы. В работе Кэрролла «Проблемы на подушке» («Pillow Problems», 1894 г.) можно найти следующий абсурдный результат.
В мешке находятся два шара, которые могут быть либо красными, либо белыми. Попробуем отгадать их цвет, не заглядывая в мешок. Согласно Кэрроллу единственно правильный ответ заключается в том, что один из них красный, а другой белый. Он объясняет это следующим образом. Когда в мешке находятся 2 красных (R) шара и 1 белый (W), то вероятность вытащить красный шар равна 2/3. С другой стороны, если в мешке было 3 шара и вероятность вынуть красный шар равнялась 2/3, то в мешке находились 2 шара R и 1 W.
Теперь положим шар R в мешок, который первоначально содержал только два шара. В этом случае существуют четыре равновозможных (1/4) комбинации шаров: RRR, RWR, RRW и RWW. Если на самом деле имеет место первая комбинация, то вероятность вынуть шар R равна 1, для второй и третьей комбинаций эта вероятность равна 2/3 и для последней комбинации равна 1/4. Следовательно, вероятность вынуть шар R равна 1-1/4 + 2/3-1/4 + 2/3-1/4+ 1/3-1/4 = 2/3. Таким образом, в мешке должны быть 2 шара R и 1 шар W, следовательно, перед тем, как мы положили в мешок шар R, в нем должен быть 1 шар R и 1 шар W.
Этот результат, очевидно, абсурден, так что его вывод должен быть ошибочным. Но в чем ошибка?
Следующие рассуждения также приводят к абсурдным результатам. Двое из трех заключенных, обозначаемых А, В и С, будут казнены. Они это знают, но не могут догадаться, кому же из них повезет. А рассуждает: «Вероятность, что меня не казнят, равна 1/3. Если я попрошу охранника назвать имя (отличное от моего) одного из двух заключенных, которых казнят, то тогда останется только две возможности. Либо другой, кого казнят, это я, либо нет, и поэтому шансы, что я выживу, увеличатся до 1/2». Однако также справедливо, что уже перед тем, как А спросит охранника, он знает, что одного из его компаньонов наверняка казнят, так что охранник не сообщит А никакой новой информации относительно его судьбы. Почему тогда вероятность казни изменилась?
Ответ га самом деле прост. Вероятность совсем не изменилась. Она осталась равной 1/3. Заключенный упустил из виду, что охранок называет, например, В с вероятностью ?, если собираются казнить В и С, но эта вероятность равна 1, когда жертвами являются А и В. Следовательно, на самом деле шансы А избежать казни равны отношению вероятности в последнем случае к сумме вероятностей в обоих случаях: 1/6(1/6+1/3)=1/3.