Итак, продолжим. Мы предположили,что казино абсолютно, честно с игроком. В чем же тогда подвох? Все очнь просто. Казалось бы вероятность выигрыша $\frac{1}{2}$, что еще надо? Но не так-то все просто. Давайте оценим средний выигрыш игрока.
Подсчитаем ущерб, возникающий в следующих ситуациях.:
- номера всех трех костей различны
- имеются ровно 2 различных номера
- все три номера одинаковы.
Предположим для простоты, что на каждый номер поставлена единичная ставка. Пусть для начала выпало три различных номера, скажем 1, 2, 3. Тогда игорный дом (казино) получает три единичные ставки на номерах 4, 5, 6 и расплачивается ими за три выигрыхных для игроков номера: 1, 2, 3. В этом случае нет ни выигравших, ни проигравших. Ясно, что так быдет всегда, когда выпадают три различных номера.
Предположим теперь, что после подбрасывания костей выпало ровно два одинаковых номера, например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки, поставленные на момера 3 и 4, как расплату с номером 1, а ставку с номера 5 уплатить номеру 2. деньги же поставленные на номер 6, таким образом, остаются игорному дому. Итак, игорный дом в этом случае выигрывает одны ставку, а игров теряет, так что при единичной ставке ущерб последнего равен $\frac{1}{6}$.
Наконец, пусть на всех костях выпало одно и то же число, скажем, 1, 1, 1. Тогда казино выплачивает сумму равную утроенной ставке, из денег, поставленных на 2, 3, 4, оставляя себе ставки, соответствующие номерам 5 и 6. В этом случае потеря игрока, рискующего идной ставкой, расна $\frac{2}{6}$. Любопытно заметить, что в среднем игроки теряют больше всего в случаях двух и трехкратной выплаты.
Для определения среднего ущерба, соответствующего единичной ставке, нужно найти вероятности рассмотренных случаев. Пусть игральные кости различаются по цвету, скажем, красная, зеленая и синяя. Они могут выпасть $6 \cdot 6 \cdot 6=216$ способами.
Скольким из этих способов отвечают три различных номера? Если для красной кости имеется 6 вариантов, то для зеленой уже только 5, так какномер, выпавший на красной кости, не должен повториться. Зеленая кость может выпасть по аналогичным соображениям лишь одной из четырех граней, отличных от предыдущих. Итак, всего существует $6 \cdot 5 \cdot 4=120$ возможных вариантов.
Оставим на время второй случай и перейдем к рассмотрению третьего - когда выпадает три одинаковых номера. Число таких вариантов равно 6, так как красная кость может выпасть шестью различными вариантами, зеленая и синяя только одним, а именно тем, которым выпала красная.
Это означает, что существует $216-126=90$ комбинаций, при которых выпадает ровно два одинаковых номера. В этом, впрочем, можно убедиться и не посредственно. Возможны следующие сочетания костей, с одинаковыми номерами: красная-зеленая, красная синяя и зеленая синяя. Для нахождения общего числа комбонаций определим число возможных вариантов, скажем для сочетания красная-зеленая и умножим его натри. Красная кость может выпасть шестью способами, зеленая только одним и синяя- пятью, т.е. всего существует 30 таких вариантов. Окончательный результат $3 \cdot 30=90$ совпадает с полученным ренее.
Средний ущерб получается суммированием произведений вероятнойтей отдельных случаев на ущерб, им соответствующий:
$\frac{120}{216} \cdot 0+\frac{90}{216} \cdot \frac{1}{6} + \frac{6}{216} \cdot \frac{2}{6} = \frac{17}{216} \approx 0.079$.Итак, в среднем игрок теряет 8% своей ставки. Учитывая, что игра продолжается около 30 секунд, а по государственным облигациям выплачивается менее 4% доли прибыли за год, такую игру можно назвать чудовищно несправедливой.
Проведенные расчеты верны лишь для правильных костей. Иногда вместо костей употребляется крутящееся колесо со стрелкой, которое после остановки показывает на участок окружности, отвечающий определенной комбинации из трех цифр. При этом относительные длины этих участков плохо согласуются с вероятностями появления соответствующих комбинаций при подбрасывании костей. Наблюдения показывают, что для таких колес двух- и трехкратные выплаты встречаются чаще и, значит средний ущерб еще больше.
Какова мораль. Не играйте в автоматы. Коих очень много! Что бы вам не говорили. Вы всегда окажетесь в проигрыше. Пусь вам повезет разок, но позже все равно проиграете. Вот такие вот дела.
