Закрыть

Приведение к абсурду, или слово о Пифагорейцах

Автор: Васин Алексей
Опубликовано 21.11.2009 в 07:53
Раздел: Математика
Теги:
Пифагор
Пифагор

Чем больше живешь тем больше удивляешья. В этой заметке я расскажу о том как что знали пифагорейцы!

Вы удивитесь, но иррациональность $\sqrt{2}$ была доказана еще пифагорейцами! При доказательстве этого важного факта они использовали метод, называемый rеductio ad absurdum.

Что представляет из-себя этот метод?

За истину принимается некоторое утверждение. Далее из этого утверждения выводятся следствия. Далее наталкиваемся на противоречие и тем самым доказываем ложность посылки. Не правда ли знакомо? :)

Здесь я приведу современную версию доказательства иррациональности $\sqrt{2}$, опирающуюся на reductio ad absurdum и простые алгебраические выкладки, а не чисто геометрическое доказательство, открытое пифагорейцами. Стиль доказательства и способ размышления не менее интересны, чем получаемый результат.

Итак, приступим!

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной, равной единице. Диагональ BC делит квадрат на два прямоугольных треугольника. В таких прямоугольных треугольниках, согласно теореме Пифагора, $1^2 + 1^2 = х^2$. Поскольку $1^2 + 1^2 = 1 +1 = 2$, то $х^2 = 2$. Таким образом мы можем сделать запись $х = \sqrt{2}$.

Предположим, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом, то есть $\sqrt{2} = p/q$, где p и q - целые числа. Они могут быть любыми, сколь угодно большими, но обязательно целыми числами.

Будем далее считать, что у числителя и знаменателя сокращены все общие множители. Для выбора значений p и q остается бесконечное число вариантов. Возведя в квадрат равенство $\sqrt{2} = p/q$, получим: $2 = р^2 / q^2$, или после домножения обеих частей на $q^2$:

$p^2 = 2q^2$. (1)

Таким образом, $р^2$ представляет собой некоторое число, умноженное на 2. Однако квадрат любого нечетного числа является нечетным числом (12 = 1,32 = 9, 52 = 25, 72 = 49 и т. д.).

Получается, что само число p должно быть четным, то есть можно записать $p = 2s$, где s - некоторое целое число. Подставив его в уравнение (1), находим: $p2 = (2s)^2 = 4s^2 = 2q^2$. Деление обеих частей последнего равенства на 2 дает: $q^2 = 2s^2$. То есть $q^2$ тоже является целым числом, и, опираясь на тот же аргумент, что был использован для р, мы заключаем, что q тоже является четным.

Но если числа p и q оба делятся на два, значит, они содержат несокращенный общий делитель, что противоречит нашему предположению. Reductio ad absurdum. Но в чем состояло предположение?

Доказательство не может запретить нам сократить общие множители, разрешив использовать 14/10, но запретив 7/5. Поэтому ошибочным должно быть начальное предположение: p и q не могут быть целыми числами, a $\sqrt{2}$ является иррациональным числом. В действительности $\sqrt{2} = 1,4142135..$. Насколько ошеломляющее и неожиданное заключение!

Какое элегантное доказательство! Но пифагорейцы считали необходимым скрывать это великое открытие.

Что вы думаете по этому поводу господа? Может быть вы знаете другие тайны пифагорейцев?

Похожие статьи:

Комментарии (0)

Комментировать могут только зарегистрированные пользователи

Разделы
Последние блоги
Aрхив блогов