Вспомнил на днях про латинские квадраты. В связи сними связана известная задача Эйлера о 36-ти офицерах, поставленная им в 1779 году. Она заключалась в следующем: 36 офицеров шести рангов из шести полков (по шесть офицеров шести разных рангов из каждого полка) требуется расположить в квадратном строю так. чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было офицеров одного ранга из одного полка.
Перенумеруем полки и ранги числами от 1 до 6. Тогда каждому офицеру будет соответствовать упорядоченная пара чисел (i, j). i. j = 1. 2. .... 6, где i означает полк, j - ранг офицера. Поставить 36 офицеров без повторения рангов в шеренгах и колоннах можно, только размещая их в соответствии с некоторым латинским квадратом порядка 6. Можно избежать появления офицеров из одного полка в каждой шеренге и в каждой колонне, если только разместить офицеров согласно некоторому другому латинскому квадрату порядка 6 (его элементы соответствуют шести полкам). Задача Эйлера будет решена, если первый и второй латинские квадраты будут выбраны ортогональными. Таким образом, задача Эйлера сводится к построению пары ортогональных латинских квадратов порядка 6. Так как она долго не поддавалась решению. Эйлер пришел к выводу, что такой пары не существует. В сочинении на эту тему, опубликованном в 1782 году, он высказал предположение, что вообще не существует пары ортогональных латинских квадратов порядков п = 4k + 2. т. е. n = 2, 6, 10, 14, 18, ...
Надо сказать решение этой задачи длилось почти 200 лет.
Первый ответ на эту гипотезу Эйлера был найден только через 118 лет! В 1900 году Г. Тэрри подтвердил ее для n = 6 путем построения и перебора всех латинских квадратов порядка 6. Дальнейшая проверка предположения опять затянулась. Лишь к 1960 году объединенными усилиями Боуза. Шрикханде и Паркера гипотеза Эйлера для была опровергнута и доказана.
Теорема. Для любого существует пара ортогональных латинских квадратов порядка n.
Итак, ортогональные латинские квадраты не существуют только для порядка 2 и 6.
Так завершились исследования по вопросу существования ортогональных квадратов. Порой совершенно нельзя предположить, чем заваршится решение, и сколько ее будут решать.